استنتاج حجم المخروط الدائري القائم و الناقص

السلام عليكم ورحمه الله وبركاته في الفيديو ده ان شاء الله هنحاول نثبت حجم المخروط الدائري القائم وحجم المخروط الدائري الناقص طيب طبعا احنا كلنا عارفين ان المخروط الدائري هنبدا باثبات المخروط الدائري القائم طبعا احنا عارفين ان المخروط هو عباره عن دوران مثلث قائم الزاويه حول احد ضلعي القائمه يعني طبعا بفرض ان احنا معانا هنا ده مثلث وليكن اسمه اوي اش مثلا طبعا القاعده بتاعته بش اللي هي اصلا هتمثل بعد كده ارتفاع المخروط وطبعا نص القطر هنا او احد دلعي القائم الدلع التاني طبعا اللي هو ار اللي هو هيمثل نص قاعده المخروط نص القطر طيب طبعا بفرض ان المستقيم او بي ده بيصنع زاويه سيتا مع محور اكس طبعا لو الراسم ده او الاو بي لف دوره كامله حول محور اكس طبعا هيتكون معانا المخروط اللي احنا شايفينه المطلوب مننا دلوقتي ان احنا نستنتج حجم المخروط او نثبت ان حجم المخروط بيساوي الكلام ده طبعا احنا عارفين ان المستقيم او بي ده معادلته طبعا واي بتساوي ام اكس طبعا المستقيم هنا بيمر بنقطه الاصل فبالتالي مافيش جزء مقطوع او نقدر نقول ان الجزء المقطوع بصفر طبعا هنا الام اللي بتمثل الميل والميل هنا طبعا اللي هو تان الزاويه طبعا تان سيتا هنا اللي هي ار على اتش فطبعا نقدر نقول ان معادله المستقيم واي هتساوي ار على اش في اكس طبعا فهيكون معانا بقى احنا عارفين بقى ان الحجم الحجم بيساوي باي في التكامل المحدود من اي لبي واي تربيع دي اكس طبعا احنا هنكا امل بالنسبه لاكس فطبعا هنست ابدل الواي بالقيمه بتاعتها طبعا واي بتساوي ار على اتش في ا اكس فهن شيل الواي ونحط القيمه بتاعتها طبعا ده تكامل تكامل بسيط جدا طبعا ممكن نستخرج الثابت اللي هو الار على اتش ده ونكا طبعا بالنسبه لاكس هتبقى اكس تربيع لما نكامل طبعا اكس تربيع هنزود على الاس واحد هتبقى اكس اس 3 على 3 وما ننساش طبعا نعوض احنا بنكام بالنسبه لاكس يبقى حدود التكامل معانا من صفر الاتش حدود التكامل من صفر لحد طول الارتفاع اللي هو طبعا من صفر لايه من صفر لاتش طيب فطبعا نتيجه التكامل هتبقى باي ار تربيع اش تربيع وطبعا قلنا هنزود على الاس واحد ونقسم على الاس الجديد وحدود التكامل زي ما اتفقنا من صفر لاش طب هنعوض بقى مره بش طبعا هتبقى تكعيب ومره بصفر طبعا كانه مش موجود فهتبقى تكعيب على الثلا في المقدار الثابت اللي بره ممكن نختصر تربيع مع تربيع من هنا فطبعا نقدر نوصل او نستنتج ان الحجم هيساوي باي ار تربيع على 3 طيب نبدا بقى عايزين بقى نسبه حجم المخروط الدائري الناقص عايزين نستنتج ان حجم المخروط الدائري الناقص بيساوي الكلام ده طبعا بنفس الطريقه نقدر يعني نقول ان المخروط الدائري الناقص هو دوران شبه منحرف يعني لو رسمنا ش منحرف وتخيلت ان شبه المنحرف ده هيلف او هيدور كده دوره كامله حول محور اكس طبعا هيتكون معانا المخروط الدائري الناقص طبعا بفرض طبعا ان القاعده الصغرى لشبه المنحرف ار والقاعده الكبرى ار كابيتال وطبعا معانا طبعا طول القاعده هنا او الارتفاع ده طبعا هيبقى بش طيب لو عملنا خط بيواز طبعا ات هو نفس الخط طبعا هنقول بقى ايه لو دي ار يبقى دي ايه بقى ار ناقص ار الصغيره تمام طيب بفرض طبعا ان هنا المستقيم اللي هو الاو بي بيميل او بيصنع زاويه سيتا طبعا مع الخط ده اللي هو الاتش طبعا نقدر نقول بان معادله الخط ا بي اللي هي واي بتساوي ام اكس زائد سي طبعا الام اللي هو بيمثل الميل والسي اللي هو الجزء المقطوع طبعا الا اللي هو الميل اللي هو اصلا تاني الزاويه اللي هو ارار ناقص ار على اش تمام ده بالنسبه للميل الجزء المقطوع اللي هو الجزء المقطوع من محور الصادات اللي هو طبعا ار يبقى طبعا نقدر نقول ان السي اللي هي بتساوي ار او نعوض باي نقطه طبعا احداثيات النقطه اللي هي ا هنا اللي هي صفر وار تمام نقدر برضو نقول ان السي هتساوي ا فبالتالي طبعا نقدر نقول ان معادله المستقيم واي هنست بدل بقى الام بقى خلاص اللي هي ار ناقص ار على اش ونقول بقى ان السي اللي هي بكام اللي هي الجزء المقطوع اللي هو بار طيب نقدر بقى طبعا احنا عارفين برضو باستخدام التكامل ان الحجم بيساوي باي في التكامل المحدود من اي لبي واي تربيع دي اكس بكامل بالنسبه للاكس فطبعا حدود التكامل هتبقى من صفر لحد الاتش لان الحته دي طبعا طولها اش يبقى انا هكام من صفر لايه لاتش نشيل بقى الواي دي ونحط القيمه طبعا بتاعتها اللي هي ار ناقص ار على اتش طبعا استبدلنا الواي نبدا بقى نكامل او نجيب قيمه التكامل ده طبعا ده تكامل بسيط جدا ممكن نجيبه باكت من طريقه يعني ممكن مثلا حد يقول ان احنا نفك القوس ولكن هي مش مستاهله ان احنا نفك القوس فطبعا لو موجود المشتقه بتاعته هنا نقدر نزود على الاس بتاع الداله واحد ونقسم على الاس الجديد فطبعا انا هضرب التكامل ده في ار اللي هو المشتقه بتاعته لان مشتقه الداله دي طبعا انا بكامل بالنسبه لاكس فمشت الداله بالنسبه لاكس طبعا فهتبقى ار نا ار على اش طبعا انا ضربت في ار نا ار على فهق اسم او هضرب خارج التكامل في معكوس المقدار عشان ما تغيرش قيمه التكامل طبعا طالما بقى داله في مشتقتها نزود على الاس واحد ونقسم على الاس الجديد فلما ازود هنا اين طبعا دي هتبقى كام تبقى لاه وما ننساش طبعا احنا ادي اللاه وقسمنا على اللاه وطبعا احنا كامل من صفر لاتش نبدا بقى نشيل الاكس ونحط اتش ونشيل الاكس ونحط صفر فهن عوض طبعا مره عن الاكس اللي كانت هنا باتش ونعوض مره عنها بصفر فطبعا الاتش هتضيع مع الاتش فيتبقى طبعا سالب ار مع موجب ار ضاعت ف المقدار ده كله هيبقى ار تكعيب يعني كل المقدار اللي في القوس الكبير ده هيبقى ايه ار تكعيب ناقص ار الصغيره طبعا تكعيب طبعا نقدر نبسط المقدار ابسط من كده طبعا ار تكعيب ناقص ار تكعيب فده فرق بين مكعبين نقدر طبعا نحلله ار ناقص ار وطبعا مربع الاول مربع التاني الاول في الثاني بعكس الاشاره طبعا هنا الار ناقص ار مع الار ناقص ار هيضع مع بعض طبعا نقدر نقول ان احنا استنتجنا حجم المخروط الناقص اللي هو بياخد طبعا الشكل اللي انتم شايفينه ده طيب في حاله بقى لما الار تساوي الار في حاله لما الار الصغيره تساوي الار الكبيره في الحاله دي طبعا المخروط الناقص هيتحول الى اسطوانه هيتحول الى ايه اسطوانه وانا لو عوضت عن الار هنا بار اي واحده فيهم نقدر نقول ان حجم الاسطوانه طبعا دي هتبقى ار تربيع وهنا ار تربيع وهنا ار تربيع فبالتالي هيبقى حجم الاسطوانه اللي احنا عارفينه اللي هو طبعا مساحه القاعده في الارتفاع وفي الفيديو ده نقدر نقول ان احنا اثبتنا او استنتجنا حجم المخروط الدائري القائم وحجم المخروط الدائري الناقص وطبعا بالاضافه الى حاله خاصه طبعا في حاله لما الار تساوي الار طبعا هنقدر نقول ان احنا برضو استنتجنا حجم الاسطوانه والسلام عليكم ورحمه الله وبركاته