درس نقطة المنتصف والبعد بين نقطتين في الفضاء الرياضيات المتقدمة للصف 11 تقديم عدنان المعمري

السلام عليكم ورحمه الله وبركاته طلاب الصف الحادي عشر المتقدمه نلتقي اليوم في درس من دروس المقرر الفصل الدراسي الثاني الوحده الحاديه عشر من الدروس الاخيره في الوحده وهو نقطه المنتصف والمسافه بين نقطتين في الفضاء اولا نبدا ببعض التعريفات والمصطلحات التي يجب ان نكون على علم بها لتناول هذا الدرس اول مصطلح هو نقطه المنتصف نقطه المنتصف اي يقصد بها هي النقطه التي تقع في منتصف المسافه بين اي نقطتين مثلا نقطه الف وباء بالتالي النقطه هنا في منتصف هي تكون احداثياتها متنصفه لاحداثيات النقطتين الف وباء نقطه الراس نقطه الراس المقصود بها هي اعلى نقطه في الشكل يعني لو معنا هذا شكل هذا الهرم وفيه نقطه نقطه نقطه مرتفعه بالتالي هي ستكون نقطه الراس وتكون مرتبطه ب ايضا النقاط او الزوايا الاخرى المسافه بين نقطتين المسافه بين نقطتين لو اخذنا اي نقطتين مثل هنا معنا النقطه طا والنقطه م المسافه بين هاتين النقطتين هو يعني البعد بين هتين النقطتين وس س نتطرق الى كيفيه ايجاد البعد او المسافه بين النقطتين المسافه بين نقطه ومستقيم هذا المستقيم لو كان معنا مستقيم ل والنقطه طا اللي هي لو اخذنا ممكن اي ان تكون مسافات مختلفه بين نقطه طا والمستقيم لكن هنا يقصد باقرب رب او اقصر مسافه وبالتالي ستكون هي المسافه العموديه على المستقيم ل المسافه بين نقطه ومستوى بنفس الطريقه هي طول العمود او عمود نازل من نقطه الى مستوى بالتالي هي ستكون المسافه المقصوده بين هذه النقطه والمستوى ننتقل الان لبعض اللي هي القوانين من خلالها نحسب نقطه المنتصف وايضا حساب المسافه بين نقطتين و طول القطر الاكبر في متوازي المستطيلات نبدا باحداثيات نقطه المنتصف في الفضاء وكما كما علمنا انه يوجد معنا ثلاث محاور احداثيه في الفضاء وهي المحور س ومحور صد ومحور ع بالتالي سيكون معنا ثلاث احداثيات نقطه المنتصف بين اي نقطتين هو يتنصف بين قيم احداثي السين للنقطتين والصاد للنقطتين والعين للنقطتين نجمع نجمع الاحداثي السيني احداثي احداثيين التابعين للسين ونقسمها على اثنين والصاد كذلك والعين كذلك ناخذ مثال بسيط هذ من الامثله التي قمنا بحلها سابقا اوجد احداثيات نقطه منتصف القطع المستقيمه الواصله بين نقطتين من النقاط التاليه اعطانا الان نقطه الف ونقطه بء نقطتين لاحظ ان النقطه بء تمثل نقطه الاصل في هذه الحاله عندما نجمع على اثنين تعطينا 6 ولكن يعني عندما تكون نقطه اخرى هي عباره عن صفر وصفر وصفر او هي نقطه الاصل بالتالي لا يستدعي ان نقوم بالجمع مباشره ناخذ الاحداثي السيني نقسمه على اثنين والاحداثي الصادي نقسمه على اثنين والاحداثي العين نقسمه على اثنين يعطيني هذه النقطه ناخذ مثال اخر لو كان معي نقطه ج ونقطه د بخلاف نقطه الاصل في هذه الحاله سوف نقوم ايضا بالجمع 9 + 11 تق 2 والاحداثي الصادي بيكون 5 سال7 على 2 اما العين بتكون 2 + 8 على 2 نصل الى الناتج 10 و-1 و5 كذلك لو اخذنا نقطه اخرى بنفس الطريقه السابقه ننتقل الان الى احداثيات منتصف في القطع المستقيمه لو اعطاني المنتصف ولكن النقطه الثانيه مجهوله فمثل مثلا المثال هذا الثاني اذا علمت ان احداثيات نقطه منتصف القطعه المستقيمه الان هو اعطاني احداثيات نقطه المنتصف ثلاثه وسالب خمسه واثنين واحداثيات نقطه احد النقطتين يعني سبعه وصفر وسالب اربعه والمطلوب ايجاد احداثيات نقطه المنتصف في القطع المستقيمه و طبعا نقطه الاصل الان هو يريد احداثيات نقطه منتصف القطع المستقيمه الواصله بين الطاء ونقطه الاصل هذه الطاء موجوده ف ونقطه الاصل ايضا معروفه هي صفر وصفر وصفر بالتالي لا توجد معي اشكاليه سوف اقسم كل هذه الاحداث احداثيات على اثنين تطلع معي نقطه المنتصف رقم ب هنا يحتاج او يطلب احداثيات النقطه ق اللي هي النقطه الاخرى النقطه الثانيه لو رسمنا النقطه المستقيمه هذه النقطه طا وهذه النقطه ق التي هو اي طلب منا ايجاد احداثياتها اما النقطه م اللي هي المنتصف فهي اساسا معطاه في السؤال معطاه في سؤال سابقا فانا احتاج امشي على ال على القاعده تلقائيا سوف احصل على س وص وع التابعه للنقطه قمنا بايجاد النقطه المنتصف عن طريق ماذا؟ عن طريق جمع احداثيات سين للنقطتين والصاد للنقطتين والعين للنقطتين ثم قسمتها على اثنين فبالتالي سنتبع نفس الخطوات سبعه يفترض ان 7 زائد س تقسيم 2 يعطي 3 وكتبناها هنا بالتالي نعمل ضرب تبادلي نوجد نقطه قيمه س التي تمثل الاحداثي السيني في النقطه ق بهذه الطريقه ضربنا اوجدنا ضرب تبادلي 7 + س تساوي 3 في 2 6 اذا بالتالي ثم نقلنا السبعه للطرف الثاني صارت س تساوي سالبوا كذلك الاحداثي الصادي بنفس الطريقه صفر زائد ص تقسيم 2 يعطيني سالب خ نضرب الضرب التبادلي ثم نوجد الصاد 10 او سالب 10 ثم احداثي ع بنفس الطريقه ايضا -4 + ع تقسيم 2 = 2 ومنها فان ع تعطي 8 اذا احداثيات النقطه ق هي سالبوا وسالب 10 و وموجب ثمانيه ننتقل لمثال اخر او ننتقل للجزء الاخر من الدرس المسافه بين نقطتين في الفضاء هنا يوجد قاعدتين نستخدمها في هذا الخصوص. القاعده الاولى هي طول القطر الاكبر لمتوازي المستطيلات. لو رسمنا متوازي مستطيلات اطول قطر هنا مثلا يربط هذه النقطه النقطه ج هو اطول قطر وابعاد هذا متوازي المستطيلات الابعاد تمثل اي طول القاعده وعرض القاعده والارتفاع ونمثلها بالف وباء وج في هذه الحاله فان طول القطر الاكبر طول القطر الاكبر بيساوي الف تربيع زائد ب تربيع زائد ج تربيع ناخذ الجذر التربيعي لمجموع مربعات الابعاد الان لو كانت لو كنت اريد اي طول القطع المستقيمه الواصل بين نقطتين القطعه المستقيمه الواصله بين النقطه ا س وصح وع1 والنقطه ب س ا وص ا وع2 ونقطه المنتصف لهما تكون ا ب تساوي الجذر التربيعي ل س ناقص س ا نطرح الاحداثي السيني ونربع زائد نطرح الاحداثيات الاحداثي الاحداثي الصاد صادي النقطه الاولى ناقص الاحداثي الصادي النقطه الثانيه ونربع كذلك العين او الارتفاع ونربع اما نقطه المنتصف لهما تساوي ممكن اوجدها بهذه الطريقه اللي هي نص المسافه انت الان اوجدنا احنا المسافه بين النقطتين نعم ثم نريد نقطه نقطه المنتصف ما علينا الا ان نضرب ان نضرب المسافه في نص الان ناخذ مثال ناخذ مثال على هذا القانون اوجد المسافه بين كل نقطتين من النقاط الاتيه مقربا اجابتك الى اقرب منزلتين عشريتين اعطاني نقطتين نريد نوجد المسافه باختصار شديد المسافه بين الف وباء او طول الف ب القطعه المستقيم ب تساوي الجذر التربيعي ل 2 نا 4 الكل تربيع زائد 5 نا 1 الكل تربيع 4 - 7 الكل تربيع نعمل الحسابات اللازمه الناتج 5.39 39 قمبه ايضا اعطاني نقطه اخرى ج ودال بنفس الطريقه انا بطرح الاحداثي السيني واربع زائد الاحداثي الصادي واربع زائد اطرح احداثي اوجد الفرق بين احداثي ع وربع يطلع معي الناتج 5 48 وحده مسافه ننتقل الان لجزء اللي هو القطر طول القطر الاطول او الاكبر في متوازي المستطيلات وهنا ناخذ هذا التمرين او المثال يبين كل شكل من الاشكال عندنا منشورا قاعدته مستطيله والقطر الاكبر فيه هو وا بما انه منشور قاعده مستطيله اذا هو متوازي مستطيلات اوجد طول واو طا مقربا الى اقرب ثلاث ارقام معنويه واو طا لو نلاحظ ان الواو طا هنا يمثل القطر الاطول في كل الرسومات الثلاثه بالتالي لو جئنا لرقم الف طول القطر الاكبر او الاطول يساوي مربع الالف 6 تربيع زائد مربع التسعه 9 تربيع وسب تربيع الارتفاع الجذر التربيعي لهذه المجاميه يطلع معنا 12.9 9 رقم ب في الرسمه الاخرى بنفس الطريقه تماما 23 تربيع الجذر التربيعي ل 23 تربيع 12 تربيع 17 تربيع ونوجده نوجد الناتج سنتيمتر ايضا بالنسبه ل متوازي المستطيلات الاخير بنفس الطريقه تماما ناخذ مثال اخر بعدا قاعده متوازي مستطيلات 15 و13 سم اذا كان طول اكبر قطر فيه الجذر التربيعي ل 835 سم فاوجد الارتفاع الان هو اعطاني الناتج اعطاني طول اكبر قطر واعطاني بعدين بعدي القاعده الطول والعرض ومطلوب ايجاد الارتفاع متوازي المستطيلات نطبق القاعده كما هي الناتج او طول القطر الاكبر هو جذر 35 جذر 835 يساوي الجذر التربيعي لي ربع الالف اذا الطول 15 تربيع ربع العرض 13 تربيع زائد الارتفاع غير موجود فخلي الرمز جلايجاده ثم نربع الطرفين للتخلص من الجذر التربيعي ثم نحصل على الجي تربيع تساوي بعد نقل 394 الى الطرف الاخر ثم ناخذ الجذر التربيعي لايجاد الجيم او الارتفاع طبعا هنا ناخذ القيمه الموجبه دائما في الاطوال فناخذ القيمه 21 سم تمرين على نفس الموضوع في متوازي المستطيلات المقابل م هنا مصف القطر منتصف القطر و ج حيث وو اعطاني طول و ا 6 وطول ا ا ن 4 ون ب 4 اذا ا ب 8 واعطاني ب ج خ رسم الشكل على نظام احداثيات س وص وع بح بح بحيث كان و تمثل نقطه العصر صفر وصفر وصفر المحور السين الموجب والف على المحور السين الموجب ج ب يوازي المحور ع ج ب يوازي المحور ع هذه المعلومات التي حصلنا عليها من خلال السؤال ننتقل للمطلوب علينا ايجاده ما المحور الذي يوازي الف ب معي الف ب ا ب على القاعده على اين يوجد على المستوى س ص هي لا س المستوى س ولكنه يقابل المستوى او المحور عفوا صد بالتالي هو يوازي المحور الصادي السؤال ب اوجد احداثيات كل نقطه من النقاط الاتيه يريد احداثيات النقطه الف وقال في السؤال بان الالف تقع على المحور السيني والمسافه هي سته اذا بالتالي احداثيات هي سته وصفر وصفر احداثيات النقطه بء هذه النقطه ب نلاحظ ان باء تقع على المستوى س وصاد اذا بالتالي ع ستكون صفر اما السين السين هي عباره عن المسافه ما بين و وال لان اصلا متوازي والزاويه قائمه وهو متوازي كل ضلعين متقابلين متوازيين بالتالي سيكون احداثيات النقطه الاحداثي السيني هو سته اما الاحداثي الصادي فهو طول ا ب اللي هو ثمانيه بالتالي النقطه ب ستكون 6 وثمانيه وصفر النقطه ج هذه النقطه ج لها ارتفاع فنسقطها عندما نسقطها فستكون هنا مطابقه للنقطه ب اذا الاحداثي السيني سته والاحداثي الصادي ثمانيه يبقى الارتفاع الارتفاع هو ايضا اعطانا الارتفاع خمسه اذا ع تساوي 5 النقطه م النقطه م قال هو انها في منتصف في المنتصف بالتالي هي بتكون منتصف السته منتصف الثمانيه ومنتصف الخمسه السؤال ج اذا قربت كل ناتج الى اقرب منزلت عشريتين فاحسب المسافه من و وجريد المسافه من و وج نرجع للرسم و وجو هي صفر وصفر وصفر بالتالي النقطه ج وهو ايضا طول القطر الاكبر في المتوازي المستطيلات بالتالي سيكون 6 تربيع 8 تربيع 5 تربيع الناتج 11 و18 ننتقل للنقطه الاخرى يريد واو م و م وو نرجع لرسم م وو نفس الطريقه تماما وا هي صفر وصفر احداثيات م قلنا 3 وربعه وخمسه اذا نربع نوجد الجذر ونربع نوجد الجذر التربيعي ل الجذر التربيعي لمجموع مربعات الابعاد وهكذا بالنسبه للنقطه م ا وقمسافه بين قوم وشكرا على حسن الاستماع ونلتقي في درس اخر باذن لله