احتمالات الاحداث المستقلة وغير المستقلة

السلام عليكم ورحمه الله وبركاته درس اليوم احتمالات الاحداث المستقله والاحداث غير المستقله بناخذ في هذا الدرس بنحدد اذا كان الحدثان مستقلين او غير مستقلين بنوجد احتمال وقوع حدثين مستقلين وبنوجد احتمال وقوع حدثين غير مستقلين في البدايه خلنا نتعرف على الحدث المركب يعني شنو الحدث المركب هو الحدث المتكون من حدثين بسيطين او اكثر لما يكون عندي حدثين او اكثر بسميهم حدث مركب يعني شنو احداث مستقله معناته وقوع الحدث الاول ما ياثر على وقوع الحدث الثاني يعني شنو احداث غير مستقله معناتها وقوع الحدث الاول يؤثر على وقوع الحدث الثاني مثلا لو قلنا القينا قطعه نقد واحده ثم رمي حجر نرد هل قطعه النقد بتاثر على حجر النرد؟ لا فبالتالي هذلين حدثين مستقلين لما اختار طالب من ثلاثه على واحد وطالب اخر من ثلاثه على اثنين هل اختياري من 3 على واحد يؤثر على اختياري من 3 على اثنين اكيد لا فهذا مستقلين لما اسحب بطاقتين الواحده وراء الاخرى دون اعاده ما برجع البطاقه المسحوبه من صندوق به 20 بطاقه مرقمه هل السحبه الاولى تاثر في السحبه الثانيه يعني الحين عندي 20 بطاقه سحبت واحده ما رجعتها فص كم صار في الصندوق؟ 19 بطاقه معناتها السحبه الاولى بتاثر في احتمال السحبه الثانيه لانه قل عدد البطاقات في الصندوق فهذ لين احداث غير مستقله لما نسحب كرتين الواحده وراء الاخرى دون ارجاع من كيس به عشر كرات هاي نفس الفكره الحين سحبت كره عندي عشر كرات سحبت واحده ما رجعتها فظل عندي في الكيس كم تسع كرات فمع معناتها السحبه الاولى بتاثر على السحبه الثانيه فهذه احداث غير مستقله لما اسحب كرتين الواحده تلو الاخرى مع الارجاع من بين عشر كرات سحبت كره من العشر كرات رجعتها مره ثانيه رديت بسحب مره ثانيه هل السحبه الثانيه تتاثر بالسحبه الاولى لا عدد الكرات رجع نفس ما كان فاذا هذه احداث مستقله سحب بطاقه من الصندوق الاول وسحب بطاقه اخرى من الصندوق الثاني لما اسحب من بطاقه من صندوق هل هاي السحبه تاثر على سحب البطاقه الثانيه من الصندوق الثاني لا فهذه احداث مستقله معناته خلاصه الكلام ان الحدثين المستقلين يعني احتمال حدوث احدهما لا يؤثر في احتمال حدوث الاخر خلينا نشوف المثال حدد ما اذا كان الحدثان مستقلين او غير مستقلين القاء قطعه نقد مره واحده ثم القاء قطعه نقد اخرى مره واحده ايضا هل رميه للقطعه الاولى بتاثر على الرمي للقطعه الثانيه لو باخذ اي شغله من القطعه الاولى هل بتاثر لي على القطعه الثانيه؟ اكيد لا فاذلين حدثين مستقلين في مثال تقديم عروض الطلبه اختير اسم احد الطلبه عشوائيا من دون ارجاع ثم اختير اسم طالب اخر راح تصف فيه 30 طالب اختر الطالب عشان يسوي العرض اللي اخترته ما برد اختاره مره ثانيه فهل هذا بثر على اختيار للطالب الثاني؟ اكيد لان عدد الصف قل فبالتالي هذين حدثان غير مستقلان حلوا تدريب وقفوا العرض وحلوا التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم السؤال الاول يقول سحبت بطاقه من مجموعه بطاقات ثم سحبت بطاقه ثانيه بدون اعاده البطاقه الاولى فشنو الحدثين هني حدثان غير مستقلان لانه قل العدد ما رجعت البطاقه القاء قطعه نقل مره واحده ثم رمي حجر نرد مره واحده ايضا وتسجيل النواتج الممكنه هل نواتج القطعه الاولى او قطعه النقد بتاثر على نواتج حجر النقد اكيد لا فاذا الحدثان مستقلان خلاصه الكلام يعني شنو احداث مستقله قلنا وقوع الحدث اي ما ياثر على وقوع الحدث والاحداث غير المستقله وقوع اي يؤثر على وقوع متى يكونون مستقله؟ لما يكون السحب مع الارجاء لما يقولون لي ثم اعيدك متى يكونون احداث غير مستقله؟ لما يقولون لي دون ارجاع او لما يقولون لي دون احلال خلونا نستنتج قانون الاحداث المستقله اذا القيت قطعه نقدره مؤشر القرص الدوار مبين في الشكل المجاور مره واحده خلنا نقول فما احتمال ظهور صوره واللون الاخضر خلونا نكتب فضاء العينه على صوره مجموعه لما القي قطعه النقش النواتج اللي بتطلع يا صوره يا كتابه ولما احرك المؤشر هنا يا بيطلع لي ازرق احمر او اخضر معناتها التجربتين مع بعض بيطلع لي يا صوره مع اللون الازرق او صوره مع اللون الاحمر او صوره مع اللون الاخضر او كتابه مع اللون الازرق كتابه مع اللون الاحمر وكتابه مع اللون الاخضر هاي فضاء العين الحين السؤال يقول لي ما احتمال ظهور صوره واللون الاخضر وين طلع لي صوره ولون اخضر حاله واحده من اصل كم حاله يعني عدد عناصر الفضاء كم ست خيارات عندي وعدد عناصر الحدث اللي هو ظهور الصوره مع الاخضر كم حاله واحده فاذا احتمال ظهور صوره و اللون الاخضر حاله واحده من اصل كم حاله؟ ست حالات خلونا نحلها بطريقه ثانيه لو قلنا اي عباره عن تجربه القاء قطعه نقص شنو فضاء العينه فيها يا اتش يا تي ولو قلنا بي عباره عن تدوير مؤشر القرص فشنو النواتج اللي تطلع لي يا بي يا جي يا هاي ثلاث خيارات شنو احتمال ظهور صوره هني واحد من اصل خيارين شنو احتمال ظهور اللون الاخضر هني واحد من اصل ثلاثه زين انا ابغي ظهور صوره و لون اخضر مع بعض لو ضربت النص في الثلث شنو يعطيني الناتج واحد على س اللي هو ظهور الصوره احتماله نص ظهور اللون الاخضر احتماله مال الثلث فالناتج بيعطيني واحد على س اللي هو نفس الناتج اللي طلع من هني وهذا قانون الاحداث المستقله معناتها لما يكون عندي بي اي تقاطع طبعا التقاطع معناتها واحد وكانوا اي وبي حدثان مستقلان معناتها ان تقاطعهم عباره عن حاصل ضرب احتمالاتهم اي بي خلاصه الكلام احتمال الحدثين المستقلين هو عباره عن في اي وبي يعني بي اي تقاطع بي معناتها حاصل ضربهم مثلا لو قالوا لي ان احتمال ب5 واحتمال بي ب 6 وقالوا لي ان اي وبي حدثين مستقلين بالتالي في اي تقاطع معناتها ب 6.5 5 يعطيني ب 3 خلينا نطبق هذا القانون في مثال يرغب جاسم اصدقائه في الذهاب الى مباراه كره قدم وقد وضعوا قصاصات الورق الظاهره في الصوره المجاوره في كيس اذا سحب شخص قصاصه صفراء فسيركب السياره واذا سحب قصاصه الزرقاء فسيركب الحافله افترض ان جاسم سحب قصاصه ولم تعجبه النتيجه فاعادها هذه الكلمه معناتها احداث مستقله لانه رجع البطاقه وسحب مره اخرى فما احتمال ان يسحب قصاصه الزرقاء في المرتين عدد البطاقات كم عندي خمسه صفراء وعندي ثلاثه زرقاء معناتها مجموع البطاقات ثمانيه احتمال انه يطلع اللون الازرق كم ثلاثه من اصل ثمانيه الحين المطلوب احتمال ان الاولى تكون زرقاء والثانيه ايضا تكون زرقاء لانه رجع البطاقه فصاروا حدثين مستقلين بالتالي السحبه الاولى ما بتاثر على السحبه الثانيه فالقاعده تقول لي ان احتمال التقاطع عباره عن احتمال الاول ضرب احتمال الثاني اذا احتمال البي 3 علىث ضرب احتمال البي ايضا 3 على الناتج 9 على 64 حلو تدريب وقفوا العرض وحلوا التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم خلينا نشوف السؤال اذا القيت قطعه نقد ورمي حجر نرد مره واحده فما احتمال ظهور صوره والعدد سته طبعا رمي قطعه نقد ورمي حجر نقد ما بياثروا على بعض فالحدثان ايش فيهم مستقلان هذا اول شيء احكم على الحدثان شنو نوعهم هلم مستقلان او لا لو قلنا ظهور الصوره حدث ظهور صوره هو الحدث اي والعدد سته والحدث ب فشنو احتمال ظهور صوره واحد من اصل خيارين اللي هما الصوره والكتابه فاذا نص احتمال ظهور العدد سته فحجر النب كم احتماله واحد من اصل ست خيارات بالتالي احتمال ظهور صوره و العدد سته هو احتمال الصوره ضرب احتمال ظهور العدد سته يعني نص في 1 على 6 بيعطيني 1 على 12 نشوف مثال ثاني اظهرت دراسه مسحيه ان 8% من موظفي احدى الدول كتلهم اقل من المعدل اذا اختير شخصين عشوائيا فما احتمال ان كتلتهما اقل من المعدل اول شيء لازم نعرف شغله ان اذا تم اختيار عينه صغيره من الاشخاص من مجتمع كبير دون ارجاع فان احتمال وقوع الحدث يتغير تغيرا طفيفا من شخص الى اخر حتى ينعدم شنو معنات هاي الكلام؟ لما انا بجي لدوله وبختار شخص واحد حتى لو ما برجعه احتماله ما بياثر على احتمال الشخص الثاني وهو التاثير كلش بسيط لدرجه انه هو ينعلم كانه ما في تاثير في هالحاله بتعامل معاهم تعامل الاحداث المستقله ليش؟ لان الحدث الاول يكاد لا يؤثر على الحدث الثاني بالتالي احتمال ان الشخصين يكون كتلتهما اقل مجرد اني اضرب الاحتمال في بعض فبيعطيني ب0064 حلو تدريب بين دراسه مسحيه ان 75% من طلبه احدى الجامعات لديهم رخص قياده السياره اذا اختير اربعه طلبه عشوائيا فما احتمال ان يكون لديهم رخص قياده السياره طبعا الجامعه كبيره فالعينه اللي باخذها كلش قليله اربعه من اصل جامعه بالتالي بتعامل معهم معاملات الاحداث المستقله واضرب احتمال مالاتهم في بعض اللي هو الاحتمال ما بيتغير في ه الحاله والناتج بيكون ب خلصنا الاحداث المستقله ننتقل الحين الاحداث غير المستقله يكون اي وبي حدثين غير مستقلين اذا كان احتمال حدوث ايهما يغير بطريقه ما احتمال حدوث الاخر يعني احتمال الحدث الاول يؤثر على احتمال الحدث الثاني احتمال وقوع حدثين غير مستقلين معا يساوي حاصل ضرب احتمال وقوع الحدث الاول في احتمال وقوع الحدث الثاني بعد وقوع الحدث الاول يعني احتمال اي تقاطع اذا كانوا غير مستقلين ايش معناتها حاصل ضرب احتمال ال في وقوع الحدث بعد وقوع اي خل نشوف المثال بالرجوع الى المثال الاول افترض ان جاسم سحب قصاصه ولم يرجعها ثانيه فاذا سحب صديقه زي القصاص خاصه فما احتمال ان يسحب كل من الصديقين قصاصه صفراء احنا قلنا عدد البطاقات كم؟ ثمانيه اللي هو كان عندي ثلاثه ازرق وخمسه اصفر شنو اللي نبغيه الحين؟ احتمال ان القصاصه الاولى تكون صفراء والقصاصه الثانيه ايضا تكون صفراء الحين اول واحد سحب اصفر كم عندي اصفر؟ خمسه من اصل ثمانيه في ما رجع البطاقه ما رجعها فمعناتها كم اصفر ظل عندي اربعه من اصل كم؟ سبع مطاقات فبالتالي السحبه الثانيه شنو بتكون؟ اربعه من اصل سبعه والناتج بيكون 5 على 14 اذا احتمال ان البطاقات تكون صفراء 5 على 14 حلوا تدريب يحتوي صندوق على 52 بطاقه فيها 13 بطاقه زرقاء مرقمه من واحد الى 13 وبالمثل 13 حمراء و13 صفراء و13 خضراء ما احتمال سح ثلاث بطاقات حمراء را الواحده والاخرى اذا كان السحب من دون ارجاع طبعا كلمه من دون ارجاع يبين لي انهم حدثين غير مستقلين وقفوا العرض وحلوا التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم عندي 13 بطاقه من كل لون اول مره بسحب احمر فعندي 13 من اصل 52 ما رجعنا البطاقه فبيظل عندي 12 بطاقه حمراء من اصل 51 بطاقه ما رجعنا الثانيه فبيظل عندي 11 حمراء من اصل 50 بطاقه في النهايه الناتج بيكون 11 على 850 نشوف تدريب ثاني يحتوي كيس على سبع حبات حلوه حمراء و 11 حبه صفراء و13 حبه خضراء اذا اخذ نور حبتي حلوى من الكيس دون ارجاع فما احتمال ان ياخذ حبه خضراء ثم حبه حمراء وقفوا العرض وحلوه وارجعوا تاكدوا من اجابتكم الحل بيكون اول مره بيسحب اللون الاخضر وما بيرجع فمعناته هذا لين هاي دون ارجاع بيعطيني معلومه انهما غير مستقلين عندي 13 حبه خضراء من اصل كم حبه اللي هو 31 حبه بالتالي بسحب 13 من اصل 31 ما برجعها بعدين بسحب حبه حمراء الاحمر كم سبعه من اصل كم قلل العدد اللي عندي سحب نا واحده لان لا فضل عندي 30 فسبعه من اصل 30 والناتج النهائي 91 على 903 وطبعا ممكن نطلع الناتج بالبوينتات او بالنسبه المئويه الحين لو كان السؤال ما احتمال ان تكون احدهما خضراء والاخرى حمراء هني قالوا لي الحبه الاولى خضراء والثانيه حمراء الحين لو قالوا لي احدهما ما حددوا اي وحده الحمراء واي وحده الخضراء شلون نحل المساله شوفوا صياغه السؤال هني احدهما خضراء والاخرى حمراء ايش بنقول طبعا الحبات اللي عندي اللي هو الاحمر سبعه الاصفر 11 والاخضر 13 والمجموع 31 تطلع خضراء كم احتمالها؟ 13 من اصل 31 وان تطلع حمراء كم الاحتمال؟ سبعه من اصل 30 لان احنا ما قاعدين نرجع وطبعا لازم نضرب في اثنين ليش؟ لانه ممكن الاولى تكون خضراء والثانيه حمراء او ممكن الاولى تكون حمراء والثانيه تكون خضراء فاذا كانت السحب واحده وراء الاخرى وما حددوا لي شنو اللون الاول وشنو اللون الثاني لازم اضرب في اثنين لانه ممكن يتبدل اماكنهم خلونا في البدايه نتعرف على الاحتمال المشروط يعني شنو احتمال المشروط يعني احتمال وقوع حدث بشرط وقوع الحدث اي يعني في صيغه السؤال لما يطلبون من عندي احتمال حدث ما بيعطوني معلومه زياده بيقولون لي علما بانه كان كذا وكذا فهذه المعلومه الزياده هو الشرط اللي حطوه على الفضاء بمعنى اخر بدل لا ابحث عن الحدث في فضاء العينه كامل بقلص فضاء العينه حسب الشرط المعطى وببحث عن الحدث مالي في الفضاء المقلص خلينا ناخذ امثله مثلا لو قالوا عند القاء حجر نرد فما احتمال ظهور العدد اربعه احنا بالعاده نوقف عند هاي المعلومه نبغي احتمال ظهور العدد اربعه الحين اعطوني معلومه زياده قالوا علما بان العدد الظاهر زوجي فبدل اروح لفضاء العينه اللي هو حجر النرد واحد اين 3 الى السته كامل وابحث عن الحدث مالي اللي اللي هو ظهور العدد اربعه بقلص الفضاء باخذ فقط الاعداد الزوجيه اللي هما الاثنين الاربعه والسته وبعدين بسحب الحدث مالي اللي هو يبغونه رقم اربعه ناخذ مثال ثاني كيس به 52 بطاقه مقسمه الى اربعه الوان احمر ازرق اصفر واخضر كل لون مرقم من واحد الى 13 اذا سحبت بطاقه رقم 12 لو كان السؤال الى هني بيكون سؤال عادي بنبحث عن سحب البطاقه رقم 12 من ال 52 بطاقه بس هم اعطوني معلومه زياده قالوا علما بان ما سحبته كان 11 او 12 او 13 بناء على الشرط هذا اروح اقلل فضاء العينه وبعدين ابحث عن الاحتمال اللي ابغيه خلنا نشوف قانون الاحتمال المشروط اذا كان وبي حدثين غير مستقلين فان الاحتمال المشروط لوقوع الحدث اذا علم ان الحدث قد وقع يعرف على النحو احتمال وقوع الحدث بشرط وقوع الحدث اي هو احتمال التقاطع على احتمال الشرط يعني دائما ابحث عن التقاطع مال الحدثين وبي واقسمها على احتمال الشرط خلونا ناخذ مثال القى تعبير حجر نرد مره واحده ما احتمال ظهور العدد ثلاثه علما بان العدد الظاهر فردي بحل لكم اول شيء بالقانون بعدين بعلمكم بالطريقه الاسهل اللي هو اقلص فيه فضاء العينه وبناء عليه اوجد الحدث مالي اعطوني يبغون احتمال ظهور الثلاثه بشرط ان العدد يكون فردي فلو فرضنا ان هذا ظهور العدد ثلاثه هو الحدث اي والعدد الظاهر فردي هو الحدث اذا المطلوب احتمال وقوع اي بشرط اللي هو حسب القانون احتمال اي تقاطع على احتمال الشرط اللي هو البي خلينا نشوف الحدث اي اي عباره عن شنو ظهور العدد ثلاثه هذا ظهور العدد ثلاثه عباره عن شنو ان الحدث يكون فردي في حجر الن شنو الحدث الفردي واحد وثلاثه وخمسه لو نلاحظ هني تقاطعوا في من فقط في الثلاثه واحنا نحتاج احتمال التقاطع معناته ان احتمال اي تقاطع تقاطعوا في حاله واحده من اصل كم حاله حجر النفي في ست حالات فاذا من اصل سته واوجدنا التقاطع احتمال الحدث كم خيار عندي في بي ثلاث خيارات من اصل سته نروح نعوض في القانون التقاطع واحد على س وهذا 3 على س السته بتروح مع سته بيظل عندي 1 على 3 اذا احتمال وقوع اي بشرط يساوي ثلث خلونا نشوفها بطريقه اسهل من كذ بدون استعمال القانون اذا اعطوني شرط اروح اطبقه على فضاء العينه واقلص الفضاء شنو الشرط اللي عندي العدد الظاهر فردي طبعا الشرط دائما بيجي عقب علما بان فاروح احقق الشرط اللي هو العدد فردي اللي هو واحد وثلاثه وخمسه الحين الفضاء الجديد اللي عندي بدل يكون حجر الند عندي ست خيارات صار عندي بس ثلاث خيارات انا ابغي ظهور العدد ثلاثه كم مره بيطلع لي العدد ثلاثه في هذا الفضاء الجديد؟ مره واحده اذا احتمال وقوع اي بشرط بيساوي واحد من اصل الفضاء الجديد اللي هو ثلاثه اتمنى فكره الاحتمال المشروط وصلت وحلوا تدريب هذا التدريب نفس الفكره اذا عندي حجر نرد يبغون احتمال ظهور العدد سته علما بان العدد الظاهر الزوجي وقفوا العرض حلوا التدريب وارجعوا تاكدوا من اجابتكم هذا الحل لو فرضنا ان احتمال ظهور العدد سته هو الحدث والشرط هو الحدث فاحتمال وقوع الحدث اللي هو العدد الزوجي ثلاثه من اصل سته يعني نص وبيتقاطعون في رقم واحد اللي هو عنده سته فبيكون واحد من اصل سته ولو طبقنا القانون بيصير عندي ثلث او نحل بطريقه ثانيه نفس ما قلنا نقلل فضاء العينه شنو فضاء العينه الجديد اللي هو الاعداد الزوجيه شنو الاعداد الزوجيه عندي الاثنين والاربعه والسته انا احتاج من احتاج السته فاذا هو خيار واحد من اصل ثلاث خيارات بيعطيني نفس الاجابه في تجربه سحب كره عشوائيه من صندوق يحوي عشر كرات حمراء تحمل الاعداد من واحد الى 10 وخمس كرات زرقاء تحمل الارقام الفرديه من واحد الى تسعه مجموع الكور اللي عندي 15 كره سحبت كره من الصندوق فوجدت انها حمراء اعطوني معلومه زياده هاي الشرطه فما احتمال ان تحمل الرقم تسعه عندي 15 كره فعلا بس خمسه منهم زرقان والمعلومه الاضافيه اللي اطوني اياها ان الكره كانت حمراء بما انها كانت حمراء معناتها اقل الفضائ كم كره حمراء عندي عشر كرات كم واحده من هذه الكرات الحمراء تحمل الرقم تسعه كره واحده معناته الاحتمال ان الكره تكون تسعه بشرط انها تكون حمراء يساوي واحد من اصل صل ع خلونا نجرب نسوي بالقانون اللي قلناه من شوي احتمال تسعه بشرط انها تكون حمراء معناتها احتمال تقاطعها على احتمال الشرط اللي هو حمراء كم كره حمراء وتحمل الرقم تسعه في الكارتون او في الجيس كامل كره واحده حمراء ومكتوب عليها رقم تسعه من اصل 15 كره كره واحد على 15 قسمه كم كره حمراء عندي 10 كره حمراء من اصل كم كره في الكيس 15 كره فاذا 15 يروحون بيظل عندي واحد على في النهايه اعطوني نفس النتيجه خلينا نشوف مثال ثاني السؤال يقول لي اذا رسم 25% من طلق احدث صفوف مدرسه الما في الرياضيات والمطلوب من الرياضيات وحل ورسم 10% منهم في الرياضيات والكيمياء خلينا نقول الكيمياء معناته ان احتمال انه يرسل في الرياضيات احتمال الاي 25% واحتمال ان هو يرسل في الرياضيات والكيميا 10% السؤال يقول لي اذا اخيره طالب عشوائيا مع اختمر في الكيمياء اذا كان راس في الرياضيات اعطوني معلومه زياده راسب في الرياضيات يبغون احتمال منوبه في الكيمياء بشرط انه يكون راسب في الرياضيات احتمال انه يكون راسب في الكيمياء بشرط انه يكون راسب في الرياضي حسب القانون اللي قلناه من شوي انه احتمال تقاطعهم على احتمال الشرط اللي هو بي الاي يساوي احتمال التقاطع 10 بال على احتمال الشرط اللي هو 25 بال فبيعطيني 10 على 25 على خذ نكون خلصنا الاحتمال المشروط ملاحظه بس الكلمه اللي عقب ما احتمال هو الحدث اللي به في البدايه اللي هو المطلوب العباره اللي فيها اذا كان اذا علم علما بان هذا الشرط المعطى كذ نكون خلصنا درس احتمالات الاحداث المستقله وغير المستقله واذا حابين تحلون المزيد من التمارين ممكن ترجعون الى الكتاب المدرسي وشكرا لكم.