حل نظام معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب 1 الرياضيات ثالث متوسط

بسم الله والحمد لله والصلاه والسلام على اشرف خلق الله سيدنا محمد وعلى اله وصحبه ومن والاه يسعدني طلابي وطالباتي استكمال شروحات ماده الرياضيات للصف الثالث متوسط اليوم سنستكمل دروسنا عن طريقه او طرق حل انظمه المعادلات سنتعرف اليوم على طريقه جديده باستخدام الحذف باستخدام الضرب قبل ذلك لابد من الاشاره الى رابط الدرس الرقمي للاستزاده والاستفاده من هذه التمارين بدايه درسنا فيما سبق حل نظام من معادلتين بالحذف باستعمال الجمع او الطرح ونقصد بكلمه الحذف اي اننا نقوم باجراء عمليه جمع او لنخفي احد المجاهيل نوجد المجهول الاخر بعد ايجاده نعود مره اخرى لايجاد المجهول الذي تم حذفه في البدايه اذا هذه هي الطريقه السابقه الان في درسنا لهذا اليوم سنقوم بحل نظام من معادلتين بالحذف لكن هنا باستعمال الضرب وسنعرف متى نحتاج الى هذه الطريقه وكيف يمكن استخدامها سنقوم ايضا بحل مسائل من واقع الحياه تتضمن انظمه من معادلتين خطيتين المفردات الجديده في هذا الدرس هي عباره عن طريقه الحذف باستعمال الضرب نبدا بسم الله دائما عبر بوابه لماذا؟ لنتعرف على معلوماتنا الجديده في هذه الصوره مكتبه باعت مكتبه 70 قلم بمبلغ 260 ريال وبناء على القائمه ادناه يمكن كتابه المعادلتين الاتيتين لايجاد عدد الاقلام المبيعه من كل نوع نلاحظ قلم الحبر لدي القلم الواحد باربعه ريالات والقم القلم الرصاص بريالين لنفترض ان السين هي عباره عن قلم الحبر وصاد هي عباره عن قلم الرصاص اذا نلاحظ ان عدد اقلام الحبر وعدد اقلام الرصاص يساوي 70 ريال قيمه قلم الرصاص 4 س و ققيمه قلم الحبر 2 ص تساوي 260 هذه تمثل لنا نظام معادلتين خطيتين نريد ايجاد عدد اقلام الرصاص وعدد اقلام الحبر التي تم بيعها في هذه ال في هذا النظام كما نلاحظ بالنسبه لطريقتنا السابقه لا نستطيع استخدام طريقه الحذف بالجمع والسبب لانه بالنسبه للمعامل العددي للسين نلاحظ انها هنا س ورب س حينما نجمع او نطرح لن يتم حذف اي متغير كما انه هنا ايضا صين ص حينما نجري الجمع او الطرح لن يتم حذف اي متغير منها هنا سنضطر الى ايجاد عمليه نستطيع بعدها استخدام عمليه الحذف بالجمع او الطرح كما نلاحظ لو كانت معامل السين في القيمه الاولى سالب ا لاستطعنا اجراء عمليه الجمع ولو كان معامل ص سالب اثنان لاستطعنا استخدام عمليه الجمع اذا هل يمكن تغيير المعادله الاولى بحيث انها ستصبح بهذا الشكل ونستطيع استخدام طريقه الحل بالحذف بالجمع او الطرح هذه طريقه جديده اذا نستطيع ان نقول بان هذا يسمى نظام معادلتين سنضطر الى اجراء عمليه ضرب بالعدد الذي اردنا حذفه مثلا لو اردنا حذف الصاد اذا وقع اختيارنا على حذف الصاد اذا سجري عمليه ضرب بسالب اثنان لكل الاطراف حتى لا تتغير قيمه المعادله هنا ضرب سالب2 بالطرف الايمن لكل الحدود وايضا للطرف الايسر لكل حدود لماذا اخترنا سالب اثنان لاننا اردنا ان نحذف قيمه الصاد فبالتالي سالب ا ص مع موجب ا ص يتم حذف المتغير ص لو اردنا ان نحذف السين بهذه الحاله سنغير طريقه سنقوم باجراء عمليه ضرب ليس بسالب اثنان في هذه الحاله سنقوم باجراء عمليه الضرب بسالب اربعه لكن الان سنختار حذف الصاد بعمليه الضرب بسالب اثان اذا سيتغير شكل النظام مره اخرى باجراء عمليه الضرب فيصبح بهذا الشكل نلاحظ ان المعادله الثانيه لم تتغير فقط هي المعادله الاولى التي تغيرت بعد اجراء عمليه الضرب -2 × س -2 س وهنا -2 ص 7 × 2 بس-40 اصبح لدي نظام اخر مكافئ للنظام الاول فقط اجرينا عمليه الضرب اذا الشرط الاساسي حينما نجري عمليه التغيير لابد ان تكون لكل اطراف هذه المعادله الخطيه الان نستطيع استخدام طريقه الحذف بالجمع كما نلاحظ انه صب2 ص وموجب 2 ص اذا بهذه الحاله نستخدم الحذف بالجمع ونقوم باجراء عمليه الحذف للطرف الايمن مع الايمن كما نقول دائما والايسر مع الايسر نلاحظ انه هنا سالب 2 ص مع موجب 2 ص يتبقى لي بالطرف الايمن موجب 2 س وبالطرف الايسر سالب 140 مع موجب 260 لاختلاف الاشاره يصبح الناتج 120 الان اصبحت معادله سهله الحل نقوم بقسمه الطرفين على اثنان فنحصل على قيمه س وتساوي 60 هي عباره عن اقلام الحبر اذا عدد اقلام الحبر تساوي 60 قلم لنرى الان كيف يمكن حساب اقلام الرصاص سنقوم بالتعويض في احدى المعادلتين عن القيمه التي توصلنا اليها س تساوي 60 حتى نوجد قيمه ص وهي اقلام الرصاص لنختار المعادله الاولى س + ص ت= 70 نعوض عن قيمه الس ب 60 ص تساوي 70 نقوم باجراء عمليه الطرح من الطرف الايمن نقوم بطرح 60 ومن الطرف الايسر نقوم بطرح 60 فنحصل على ان ص تساوي 10 اقلام رصاص اذا توصلنا الى عدد اقلام الحبر وعدد اقلام الرصاص عن طريق كتابه نظام معادلتين خطيتين وتعرفنا على الطريقه الجديده وهي عباره عن الحذف باستعمال الضرب هي تتضمنها عمليه الحذف باستعمال الجمع او الطرح لكننا نحتاج اولا الى اجراء عمليه الضرب حتى نستطيع تطبيق طريقه الحذف بالجمع او بالطرح لنرى الان كيف يمكن كتابه ذلك وندونه في المطويه مفهوم الحذف الحل بالحذف نضرب احدى المعادلتين على الاقل في عدد ثابت للحصول على معادلتين فيهما كما قلنا قبل قليل نبدا باختيار اولا نحدد من هو المتغير الذي سنقوم بحذفه وبالتالي نركز على قيمه المعامل العددي لابد ان يكون نفس العدد وعكس الاشاره اي نظيره الجمعي ثم بحيث يكون احدهما معكوس للاخر الخطوه الثانيه سنقوم الان بعد ان يكون احدهما معكوس الاخر نستخدم عمليه الحذف بالجمع نجمع المعادلتين او نطرحهما للتخلص من احد المتغيرين ثم نحل المعادله الخطوه الثالثه والاخيره سنعوض عن قيمه المتغير كما تعودنا سابقا في الطرق في الحصص السابقه سنعوض عن قيمه المتغير الناتج في الخطوه اثنين باحدى المعادلتين ونحلها لايجاد المتغير الثاني سنقوم بتطبيق ذلك بالامثله التاليه لدينا هذا المثال استعمل الحذف لحل هذا النظام كما نرى بالنسبه لطريقه الحذف بالجمع او طرح السين هنا لدي 5 س وهنا 2 س لا نستطيع استخدام الجمع او الطرح هنا لدي 6 ص وهنا 3 ص احدهما ليس معكوس الاخر اذا لا لا نستطيع استخدام طريقه الحذف باستخدام الجمع او الطرح لكن نلاحظ ان الثلاثه صع تحويلها الى 6 ص عن طريق اجراء عمليه الضرب بسالب اثنان حتى يكون احدهما معكوس الاخر اذا سنقوم باجراء عمليه الضرب لجميع اطراف المعادله بسالب اثنان هذا لو اردنا ان نحذف الصاد اذا دائما نختار المتغير الذي سنقوم بحذفه هنا بالنسبه للصاد نرى بان عمليه الضرب بسالب اثنان ستحوله الى س-6 ص وبالتالي نستطيع حذفه مع السابق اذا سجري عمليه الضرب وبشرط ان نضرب جميع الحدود اذا ستصبح ال النظام بهذا الشكل المعادله الاولى لم تتغير 5 س + 6 ص ت= سال8 لكن المعادله الثانيه هي التي تغيرت فاصبحت -2 × 2 = -4 س هنا -2 × 3 ص -6 ص و-5 × -2 عباره عن 10 اذا هذا يعتبر النظام المكافئ قمنا بتغيير فقط المعادله الثانيه الان نستطيع استخدام طريقه الحذف بالجمع حينما نجري عمليه الجمع هنا حينما نجري عمليه الجمع سالب س ص مع موجب س ص فيصبح الناتج 5 س +4 س س هذا بالنسبه للطرف الايمن وبالنسبه للطرف الايسر سالب مع موجب 10 موجب ا اذا اصبحت س تساوي 2 وهذا عباره عن حل المعادله بالنسبه الى س اوجدنا قيمه سقوم الان بالتعويض في احدى المعادلتين لايجاد قيمه ص 2 س + 3 ص = -5 نقوم بالتعويض عن س بقيمه 2 اذا 2 ض 2 + 3 ص تساوي سالب5 معادله نستطيع حلها بسهوله 4 + 3 ص تساوي سال5 معادله ذات خطوتين حتى نستطيع ان نحلها نطرح اربعه من الطرفين فيصبح هنا سالب اربعه وهنا سالب ا يصبح لدي 3 ص تساوي سالب ت سنقوم الان بقسمه الطرفين على الثلاثه فنحصل على ص تساوي ساوي سالبثلا اذا قمنا بحل النظام باستعمال الحذف بالضرب طريقه الحذف بالجمع او الطرح تتضمنها طريقه الضرب لكن اولا لابد من اجراء عمليه الضرب ثم نستكملها باجراء عمليه الجمع او الطرح للطرف الايمن والطرف الايسر اذا الحل هنا لدينا عباره عن اثان وسالب تحقق من فهمك 6 س نا 2 ص ت= 10 3 س نا 7 ص ت= 19 نلاحظ هنا بمقارنه المتغيرات س وص هنا 6 س وهنا 3 س نستطيع تحويل الثلاثه الى سته عن طريق اجراء عمليه الضرب باثنان ونجعلها اشاره سالبه حتى يكون العدد عكس الاشاره ونستطيع حذفه اما بالنسبه للصاد هنا سالب2 وسالب سبعه لا يوجد بينهما عامل مشترك بحيث نقوم بتحويل احدهما الى الاخر اذا الخيار الانسب هنا لدينا هو حذف متغير السين اذا سجري الان عمليه الضرب بسالب اثنان للمعادله الثانيه ونوجد ما هي صوره النظام بشكل اخر اذا 6 س - 2 ص = 10 لم تتغير المعادله الاولى لنرى المعادله الثانيه اصبحت -2 × 3 س-6 س -2 × -7 + 14 و-2 × -1 + 38 الان نلاحظ ان 6 س وسالب6 س نستخدم الحذف بالجمع حتى نحذف المتغير سحصل على سالب2 ص مع موجب 14 ص اختلفت الاشاره فنحصل على 12 ص تساوي 48 نقسم الطرفين على 12 فنحصل على قيمه ص تساوي 4 اذا هنا قمنا باجراء عمليه القسمه للطرفين على 12 اذا ص تساوي 4 اوجدنا المتغير ص اذا نستطيع الان ان نقوم بالتعويض عن هذه القيمه في احدى المعادلتين لايجاد المتغير الاخر نختار المعادله 6 س - 2 ص = 10 نبدا بالتعويض عن صربعه تصبح 6 س - 2 × 4 = 10 اذا 6 س - 8 = 10 الان نقوم ب اجراء عمليه الجمع للطرفين موجب ثمانيه حتى نتخلص منها بهذا الطرف فتكون 6 س ت= 18 نقسم الطرفين على السته باجراء القسمه اذا س تساوي 3 اوجدنا قيمه س وقيمه ص اذا هذا هو حل النظام الزوج المرتب الذي يمثل ثلاثه واربعه اذا دائما حينما نريد ان نحل النظام لابد من ان ندقق بالمعاملات العدديه بناء على هذه المعاملات العدديه سنستخدم عمليه الضرب هذا السؤال الثاني من واحد باء من فقط تحقق من فهمك اولا نقرا السؤال جيدا ما رايكم بالنظام نستطيع حذف الراء اذا اردنا ان نحذف الراء اذا سنقوم باجراء الضرب هنا بسالبثلا حتى يكون الناتج سالب ت ونستطيع حذفها اما اذا اخترنا ان نقوم بحذف الكاف اذا سنقوم بضرب المعادله الاولى بسالب اثنان حتى نقوم باجراء عمليه الحذف اذا بناء على المتغير الذي نختاره سنحدد الخطوه التي سنجريها هنا سنقوم بحذف المتغير را اذا سنضرب المعادله الثانيه كل حدود هذه السالب سيصبح النظام الجديد 9 را المعادله الاولى كما هي لم تتغير اما المعادله الثانيه 3 ر ض-3 -9 2 ك ض3 عباره عن سال × -3 عباره عن 12 الان نلاحظ ان المتغير را نستطيع حذفه باستخدام طريقه الحذف بالجمع ونحصل على موجب ك نا 6 ك سال5 ك اما الطرف الايسر 13 12 عباره عن 25 لايجاد قيمه ك سنقوم بقسمه الطرفين على سالب خ فتصبح ك تساوي سالب خ اوجدنا الان المتغير الاول يسهل علينا ايجاد المتغير الثاني بالتعويض في احدى المعادلتين لايجاد قيمه را اوجدنا قيمه ك يتبقى لدينا الان المتغير الثاني سنقوم باختيار احدى المعادلتين سواء المعادله الاولى او الثانيه كفيله بايجاد المجهول لكن نهتم بالتعويض بشكل صحيح واجراء العمليات الحسابيه بدقه 9 را 5 وهي عباره عن ك تساوي 13 اذا لحل هذه المعادله نبدا باضافه 5 للطرفين اولا اذا 9 را تساوي 18 الان نقوم بقسمه الطرفين على التسعه فتكون را تساوي 2 اذا اوجدنا المتغيرين نقوم الان بكتابه حل هذا النظام وهو عباره عن الزوج المرتب اثان وسالب خ اذا اولا نحدد من هو المتغير الذي سنقوم باجراء عمليه الحذف لنرى هذا السؤال من فقره تاكد 2 س نا ص تساوي 27 ما رايكم اي المتغيرات يسهل حذفها لنلاحظ بالنسبه للسين لا نستطيع ضرب احد العددين لتحويله الى الاخر اقصد الاثنان والسبعه لكن هنا نستطيع اجراء عمليه الضرب بثلاثه حتى تصبح 3 ص وهنا موجب 3 ص ونستطيع حذف المتغير اذا سنختار حذف المتغير ص وسيكون ذلك عن طريق عن طريق ضرب هذه المعادله ب بالثلاثه بالاشاره الموجبه لنرى الان كيف ستكون المعادله الجديده الاولى نقوم باجراء عمليه الضرب لكل الحدود نلاحظ 2 س ض 6 س سالب خ سالب ص ض 3 -3 ص 4 × 3 12 اما بالنسبه للمعادله الثانيه لم تتغير كما هي اذا نلاحظ هنا يمكن حذف المتغير صد باجراء عمليه جمع للطرفين حتى تصبح لدي هنا يمكن اجراء عمليه الحذف فيصبح 6 7 13 س تساوي 12 27 39 نقوم بقسمه الطرفين على ال 13 فيصبح الناتج 39 ت اذا س تساوي 3 اوجدنا قيمه المتغير س نستطيع حساب المتغير الاخر عن طريق التعويض باحدى المعادلتين لنختار مثلا المعادله الاولى 2 س - ص = 4 سنقوم بالتعويض عن س ب 3 فتصبح 2 × 3 - ص تساوي 4 اي 6 - ص = 4 نبدا بطرح سته من الطرف الايمن ومن الطرف الايسر فيصبح المعادله سالب ص تساوي سالب2 ننتبه للاشارات دائما الان نريد ايجاد قيمه صب ص اذا سنقوم بقسمه الطرفين على سالب واحد حتى نتخلص من الاشاره السالبه اذا ص تساوي اثنان وبالتالي نستطيع حل هذا النظام وايجاد الزوج المرتب الذي يمثله اذا دائما ننتبه الى المعاملات العدديه للمتغيرات حتى نستطيع تحديد اي المتغيرات الذي سنقوم بحذفه وايها الذي سنوجده اولا الان لدينا هذا السؤال من مهارات التفكير العليا حل كل من سعيد وحسين نظاما من معادلتين ايهما اجابته صحيحه هذه طريقه حل سعيد للنظام لنرى خطوات الحل اولا قام سعيد كما نرى هنا هذا هو النظام المراد حله الراء لا نستطيع حذفها لعدم وجود نفس المعامل العددي وعكس الاشاره كما ان التاء ايضا لا نستطيع حذفها ماذا فعل سعيد قام باجراء عمليه الضرب هنا نلاحظ المعادله الثانيه قام بتغييرها قام باجراء عمليه الضرب من را الى 2 را ومن 9 الى 18 ت اذا قام باجراء عمليه الضرب احسنت يا سعيد ثم قام باجراء عمليه طرح للمعادلتين 2 را مع 2 را اذا اصبحت خ صفر 7 ت مع سالب سال 18 + 18 تعتبر اصبحت 25 ت= 25 لان هنا لدي عمليه طرح اذا 11 -14 اصبحت 25 قام بقسمه الطرفين على ال 25 سعيد واوجد قيمه ت بواحد ثم قام بالتعويض في المعادله الاولى عن قيمه ت اصبحت 2 ر + 7 = 11 2 ر قام بطرح السبعه من الطرفين اصبحت 2 ر ت= 7 احسنت يا سعيد وهنا قام بقسمه المعادلتين او الطرفين على اثنان اذا توصل الى ان قيمه را تساوي اثنان اذا نلاحظ ان خطوات الحل التي قام بها سعيد جميعها صحيحه اذا حل سعيد صحيح لنرى قد يكون حسين قد حله بطريقه اخرى وبشكل صحيح لنرى طريقه حل حسين قام اولا حسين بالمقارنه بين المعادلات مباشره اجرى عمليه الطرح قام باجراء الحذف بالطرح قبل ان يتاكد من المعاملات العدديه هنا 2 را وهنا 1 را لو قمنا بطرح المعادلتين لن يتخلص من الراء ربما يقصد تاء لنرى هنا لدي 7 ناقص سالب تاء لن يتمكن من حذف التاء اذا لابد من اجراء خطوه قبل اجراء عمليه الجمع هنا اذا هذه الخطوه ليست صحيحه بالنسبه لحسين اذا اجابه سعيد هي الصحيحه من الاجابات التي اطلعنا عليها. اذا دائما ننتبه للخطوات وقبل الحذف لابد من تحقق شروط معينه بعدها نستطيع ان نجري عمليه الحذف. ما هو الزوج المرتب الذي يمثل حل النظام التالي؟ الان لدينا هذا نظام نريد حل هذا النظام بمقارنه بسيطه نلاحظ هنا لدينا سالب3 ص وموجب3 ص اذا نستطيع حذفها باجراء عمليه ماذا؟ جمع الطرفين اذا حينما نجمع نحذف بالجمع نحصل على موجب سصبح لدي موجب س يساوي سالب سالب ت مع 6 يساوي سالب3 بخطوه واحده اوجدنا احد المتغيرات ما رايكم هل نستطيع التوصل الى الاجابه قبل ان نكمل الحل نلاحظ هنا ان قيمه س هنا ثلاثه قيمه س اذا قد يكون هنا الحل هنا الحل مستبعد قيمه س تساوي سالب3 اذا ننتبه الى الاشارات حينما تكون س بسالبث اذا قد يكون هذا هو الحل الحل هنا مستبعد والحل هنا مستبعد لان قيمه س ليست سالبثلا قد تكون الاجابه اما باء او ج نحتاج ان نكمل الحل حتى نصل الى قيمه ص اذا سنقوم بالتعويض في احدى المعادلتين ونبدا التعويض بسالب3 ستصبح سالب س نا 3 ص ت= سال اذا باضافه سته للطرفين سالب3 ص تساوي سالب3 وبقسمه الطرفين على سالب3 اذا ص تساوي 1 وبالتالي اي الاجابات اما ج او باء نرى بان قيمه الزوج المرتب سالبثلا وواحد عند الاختيار ج اذا هذه هي الاجابه الصحيحه اخر سؤال لدينا اليوم في درسنا ما هو احتمال يبين الجدول التالي احتمال ان نتائج رمي مكعب ارقام فما الاحتمال التجريبي ننتبه الى هذه الكلمه ما هو الاحتمال التجريبي لظهور العدد ثلاثه؟ حينما نجري تجربه رمي الارقام فنحن امام ست احتمالات اما ان يكون واحد الى سته اذا مجموع الاحتمالات سته هذا الاحتمال النظري نحن الان نتحدث عن الاحتمال التجريبي نقصد بذلك عدد التجارب التي قمنا باجرائها في نفس الوقت اذا نريد الاحتمال التجريبي لظهور الرقم ثلاثه هو عباره عن اثنان على كم عدد التجارب كلها نقوم بجمع الارقام هنا حتى نعرف عدد التجارب نلاحظ انها 20 مره قام بتكرار هذه العمليه حتى يحصل على الاحتمال التجريبي نريد حساب الاحتمال التجريبي اذا 2 على 20 نجري عمليه التبسيط تصبح 1 على 10 اي انها تساوي من اي الاجابات او الاختيارات هو الصح عباره عن الفقره دال اذا دائما ننتبه للقراءه بشكل جيد كلمه التجريبي غيرت مجرى السؤال لدينا اذا تعلمنا في درسنا اليوم على طريقه ضرب معادله لحذف احد المتغيرين فننسا حل تمارين الواجب بذلك نكون قد وصلنا الى نهايه درسنا لهذا اليوم اتمنى ان تكونوا قد استفدتم جميعا اتطلع بشوق للقائكم في الحصه القادمه.