استنتاج حجم المخروط الدوراني بالتكامل الخطي

السلام عليكم ورحمه الله وبركاته معكم احمد عبد الخالق في قناه بن ماس تلبيه لرغبه احد متابعينا يريد كيف نستنتج قانون حجم المخروط الدوراني نحن نعلم ان حجم المخروط الدوراني يساوي ثل باي ار تربيع اش حيث ار هي نصف قطر قاعده المخروط الدوراني وش هو ارتفاع المخروط الدوراني اولا علينا ان نعلم ان المخروط الدوراني ينتج من تدوير خط مستقيم على احد المحاور اذا كان لدينا هذا خط مستقيم فلتكن معادلته واي تساوي ام اكس ام هي الميل المستقيم ايا كان ميله واكس هي وواي هي المتغيرات المستقيم وتسمى معادله المستقيم الخطي هذا الخط اذا دورنا على هذا المحور فانه ينتج لنا هذا المخروط ببساطه شديده هذا الخط اذا حصل له تدوير وثبتنا مع المحور نقطط الاصل ينتج لنا هذا المخروط مباشره الان نريد ان نستنتج قانون حجم المخروط اذا كان لدينا هذا واي يساوي ام اكس فان هذا الارتفاع هو ار الذي سيكون هو نصف قطر المخروط الدوران اريدكم ان تركزوا معي في هذين الشكلين الان نحن نريد هذا الميل الميل يساوي ظل الزاويه سيتا سيتا تان سيتا يساوي المقابل على المجاور هذا هي ار على الطول هو طول المخروط هو اتش يساوي ار على اتش اذا نستطيع ان نحذف هذه الام نضع بدلها ار على اش اذا يمكن ان نكتب واي تساوي ار على اتش في اكس هذه اول خطوه الان نريد ان ناخذ شريحه صغيره شريحه صغيره من هذا المخروط فلتكن طولها هي دي اكس وارتفاعها هو واي اذا هذه هي الشريحه دي اكس وهذا نص قطرها واي ونريد ان ناخذ حجم هذه الشريحه سر الحل يكمن في هذه الشريحه اذا استطعنا ان حجم هذه الشريحه ثم كاملها من المسافه من ز الى طول المخروط ينتج لنا حجم المخروط الدوران الان علينا ان نبحث عن حجم الشريحه تساوي لريحه هناي لمخروط هذه دائره نص قطرها وا وسمكها ديكس اذا اسطوانه صيره جدا نصف قطرها واي وسمكها دي اكس اذا حجمها يساوي مساحه الدائره في ارتفاع مساحه الدايره تساوي باي ار تربيع اللي هي هو واي تساوي واي تربيع في سمكها سمكها هو دي اكس اذا حجم هذه الشريحه يساوي باي واي تربيع بالنسبه لدي اكس اذا كامنا هذ شريحه من ز الى اتش يعطينا حجم المخروط الكلي يساوي اذا اذا حجم المخروط الكلي في سي يساوي تكامل هذه الشريحه من ز الى اتش من زيرو الى اتش هذه الشريحه باي واي تربيع بالنسبه ل دي اكس الان الواي تربيع تساوي ار على اتش في اكس اذا يساوي في سي تساوي التكامل من ز الى اتش باي كما هي الواي نستطيع ان نكتبها ار تربيع على اتش تربيع على اكس تربيع لانها تربيع تساوي ار تربيع على اش تربيع في اكس تربيع اذا استبدلنا هذه الواي ووضعنا بدالها ار على اش اكس تصبح ار تربيع اش تربيع اكس تربيع مضروبه في دي اكس الان هذه باي ثابت وهذا الار تربيع ثابت وهذه الاتش تربيع ثابت نستطيع ان نخرجها خارج التكامل يصبح لدينا في س يساوي هذه نستطيع خارج التكامل باي ار تربيع اش تربيع تكامل من ز الى اتش اكس تربيع بالنسبه لدي اكس الان نستطيع ان نكامل هذه ببساطه تكامل اكس تربيع يساوي اكس تكعيب على لا باضافه واحد الى القوه قسمه على القوه الجديده يساوي الفي سي يساوي باي ار تربيع على اش تربيع في اذا نضيف الى هذه القوه واحد تصبح اكس على 3 على لا حدود التكامل هي من اتش الى 0 الان نستطيع ان نوجد التكامل المحدد نعوض هذه القيمه ونعوض هذه القيمه ونطرحه من بعض اذا في سي يساوي باي ار تربيع على اتش تربيع اذا عوض ا تكعيب تصبح اتش تكعيب على لا ناقص اذا عوضنا الصفر تصبح صفر انتهت يصبح في سي يساوي باي ار تربيع على اش مضروبه في اتش تكعيب على ثلاث الان نستطيع نختصر هذه هذه تربيع نستطع نختصرها مع هذه يتبقى لنا البي سي يساوي باي ار تربيع اتش مضروبه في لا وهذا هي المعادله اذا استفدت من الدرس اكتبلنا تحت في التعليقات بتتمنى انك تشترك في القناه وتسع زر المشاهده يصلك اول جديد والسلام عليكم ورحمه الله وبركاته ‏ch