الرياضيات MATHEMATICS تيموثي جاورز ملخص كتاب

الرياضيات موضوع مجرد من منظورين انها تستخلص السمات المهمه من مشكله ما وانها تتعامل مع كائنات غير ماديه وغير ملموسه ملخص كتاب الرياضيات مقدمه قصيره جدا تاليف تيموفي يكره معظم الناس ماده الرياضيات ويهبونها ففي مخيلتهم صوره نمطيه عن صعوبه الرياضيات وجنون علمائها فهم في نظر الناس عباقره وفوضويون ونجد معظم الطلاب الذين يتعلمون ماده الرياضيات يجيدون استخدام القواعد والتعامل مع وظائفها المتنوعه دون فهم جيد لها تحتاج الرياضيات الى خيال خصب وتناول موضوعاتها من منظور مختلف عن المواد الدراسيه الممله فالرياضيات وسيله جميع العلماء لمحاكاه مسائل العالم الحقيقي ودراستها على الاوراق هنا ستتعرف على مفاهيم رياضيه تظن انك تعرف بعضا منها ولكنك ستنظر اليها من منظور مختلف ثم ستتحقق من صحه الافتراضات الشائعه التي يعتقدها الناس في الرياضيات وعلمائها انها الفرصه للبدء في رحله ممتعه مع لا تشبه تجاربك السابقه معها فهيا بنا الفصل الاول الرياضيات اداه رئيسه لنمذجه مسائل العالم الحقيقي هل فكرت يوما ما في الطريقه المثلى لرمي الحجر لابعد مسافه ممكنه فاذا رفعت يدك كثيرا عند رمي الحجر سيرتفع الحجر ولكنه لن يصل الى مسافه بعيده واذا اخفضت يدك قبل الرمي سيقع الحجر بالقرب منك اذا يجب معرفه زاويه الرمي المناسبه للوصول بالحجر الى ابعد مسافه تقدم الرياضيات الاجابه المناسبه انها الزاويه 45 ولكن كيف عرفنا الجواب باستخدام الرياضيات لقد استخدمنا الرياضيات لمحاكاه هذه المساله وحددنا زاويه الرمي المناسبه تعرف هذه المحاكاه بالنمذجه الرياضيه وهي رؤيه تخيليه مبسطه لجزء من الواقع بغرض دراسه سلوكه واستكشافه وهذا النموذج الرياضي لمساله الحجر مبسط فهو لا يتضمن عوامل مؤثره على التجربه كقوه الجاذبيه ومقاومه الهواء ودوران الارض والتاثير البسيط لجاذبيه القمر ولا يختلف الحال كثيرا في تجربه رمي النرد فبدلا من حساب العوامل الفيزيائيه المرتبطه بالرمي كالسرعه الابتدائيه وسرعه دوران النرد وغيرها من العوامل لمعرفه الرقم الذي سيظهر عند رمي النرد يمكننا وضع نموذجا رياضيا مبسط لمعرفه احتمال ظهور رقم ما عند الرمي فاحتمال ظهور اي رقم من الارقام السته واحد اثنان ثلاثه اربعه خمسه سته هو السدس اي 16.6% واحتمال الحصول على رقم زوجي هو ثلاثه الى سته اي النصف اي 50% قد تبدو النماذج الرياضيه للمسائل الفيزيائيه معقده نوعا ما ولكنها ابسط في المسائل الاخرى فكل ما يلزمنا لبناء نموذج رياضيا لحساب النمو السكاني لرقعه جغرافيه ما هو معرفه عدد الوفيات وعدد الولادات ويمكن زياده دقه النموذج بتعقيد النموذج واضافه عوامل اخرى ولكن يفضل استخدام السمات الاساسيه للظاهره المراد نمذجتها دون الغوص في التفاصيل ثم تعقيد النموذج حسب الحاجه تمكننا نمزجه الرياضيه بالاضافه الى دراسه الظواهر عن كثب من نقلها الى الحاسوب باستخدام لغه البرمجه اذ ان التطبيقات الحاسوبيه تكتب هذه النماذج الرياضيه بالتعليمات البرمجيه الفصل الثاني يسهم التفكير التجريدي في تقليل صعوبه فهم الرياضيات ظهر جدل فلسفي في القرن الثامن عشر ينص على انه اذا كان مربع العدد صفر صفرا ومربع العدد واحد واحدا فهذا يعني وجود اعداد اخرى هي مربع لنفسها فتح هذا الجدال بابا واسعا للفلاسفه في التفكير في المسلمات الرياضيه التي نتعامل معها بطريقه بديهيه كالاعداد الطبيعيه وهي الاعداد الصحيحه التي لا تحتوي على كسور عشريه والاعداد الحقيقيه وهي الاعداد التي لا تحتوي على كسور عشريه والاعداد الموجبه والسالبه وغيرها من المسلمات الرياضيه لقد انغمس الفلاسفه في هذه المسلمات وحاولوا التعمق فيها وفهم معانيها ولم يتناولها بشكل مجرد ويقصد بالتجريد التركيز على وظيفه الشيء ودوره فقط دون تعمق في معناه ومع ذلك يجب استخدام التجريد في الرياضيات بطريقه مقبوله دون افراط حتى لا تزداد الصعوبه في فهم الرياضيات يساعد التجريد على الفهم الافضل للظواهر الطبيعيه عند نمذجتها اذ اننا نجد فيها الكثير من التفاصيل التي تجعل دراستها امرا شاقا ولذلك نلجا الى التجريد فنستخلص السمات الاساسيه التي تتحكم في الظاهره مما يمنحنا فهما افضل ففي نموذج رمي الحجر اخترنا زاويه الرمي سمه اساسيه للنموذج واهملنا باقي السمات كجاذبيه القمر والسرعه الابتدائيه وغيرها من السمات وهذا ما نفعله في الرياضيات حين نتعامل مع المسلمات الرياضيه اذ اننا نفكر في وظيفتها وطريقه عملها دون الخوض في تفاصيل اكثر فنفكر في الاعداد السالبه فقط كتوسيعا لنظام الاعداد بدلا من ان نفكر في ماهيتها وكيف يمكن ان توجد اعداد اصغر من الصفر من هنا ظهرت الحاجه الى الموازنه بين التفكير الكلاسيكي والتجريد لنتمكن من قبول الرياضيات واستخدامها الفصل الثالث اللانهايه والتقريب حل للعديد من المسائل الرياضيه جرب ان تقسم العدد 22 على العدد سبعه ستجد ان ناتج القسمه هو ثلاثه واعداد عشريه لا نهائيه وهي الاعداد التي تقع على يمين الفاصله العشريه ولو جربت الاستمرار في عمليه القسمه للحصول على الناتج النهائي فلن تصل اليه يكفي ان نقول ان الناتجه 43 جزءا من المئه ولكن اذا ضربنا الناتج السابق بسبعه فهل سنحصل على 22 بالطبع لا سنحصل على 21 و98 جزءا من المئه لان النتيجه السابقه تقريبيه واذا عملنا على زياده الاعداد بعد الفاصله العشريه للناتج يكون ناتج القسمه ثلاثه فاصل 10428 جزءا من عشره الاف وعند ضرب هذا العدد بسبعه سنحصل على الرقم 21.98 جزءا من الالف نلاحظ اننا لن نحصل على الرقم 22 الا اذا وصلنا الى نهايه عمليه القسمه وهو امر غير ممكن ولذلك يوضع مفهوم اللانهايه حلا للعديد من المسائل الرياضيه ويمكننا من انهائها يعتقد الذين لا يتعاملون مع الرياضيات انها تتعامل مع الارقام الدقيقه وحين يدرس المرء في الهندسه يلاحظ ان معظم المسائل التي يواجهها تنتهي باجابه تقريبيه وليست تامه الدقه فمثلا عند حساب الجذر التربيعي للعدد اثنين نكتفي بكتابه الارقام الاولى بعد الفاصله وتقريب الرقم الاخير لاننا عند تنفيذ العمليه على الاله الحاسبه سنحصل على رقم طويل وهو واحد واربعمائه واربعه عشر الفا و213 جزءا من المليون ويمكننا كتابه النتيجه بتقريب الرقم الثالث بعد الفاصله العشريه فيصبح الناتج واحدا و415 جزءا من الالف ويختلف هامش الخطا في التقريب باختلاف الاعداد اذ انها مش الخطا في الاعداد الكبيره اوسع منه في الاعداد الصغيره فلو طلب منك حساب المسافه التي تقطعها سياره ما بالاميال خلال زمن معين فاي المسافتين ستكون ادق هل في حال حسبت الاميال التي قطعتها السياره في جزء على مئه جزء من الثانيه ام المسافه التي قطعتها خلال جزء على مليون من الثانيه تعد مقارنه الاعداد الكبيره في الرياضيات عملا شاقا ولذلك فان استخدام اللوغاريتمات يسهل الامر واللوغاريتم هو العمليه المعاكسه لرفع القوه فاذا كان مكعب العدد عشره ويقصد بمكعب العدد ضربه بنفسه ثلاث مرات هو الف فان لوغاريتم العدد الفا هو ثلاثه وبالتالي فان استخدام اللوجاريتمات يحول الارقام الضخمه الى ارقام صغيره يمكن مقارنتها بسهوله ولعل اهم تطبيق للتقريب في الرياضيات هو في علم الحاسب عند حساب التعقيد الزمني للخوارزميه والتعقيد الزمني للخوارزميه هو عدد التعليمات التي تنفذها الخوارزميه وفقا للمدخلات المستقبله فاذا كانت تعقيد الزمني لخوارزميه هو لوغاريتم ان حيث ان تمثل عدد المدخلات فهذا يعني انها ستنفذ ثلاثه تعليمات لمعالجه الف مدخل اقتباس بمجرد ان يتعلم المرء التفكير بطريقه مجرده فانه يكون مبتهجا وهي بهجه تشبه الى حد ما بهجته عندما يتمكن فجاه من ركوب الدراجه دون القلق بشان الحفاظ على توازنه الفصل الرابع هندسه الابعاد منظار العلماء في النمذجه توفر الهندسه في الرياضيات مستوى الاحداثيات لتحديد النقاط وتمثيلها بيانيا ولعل اشهر هذه المستويات الاحداثيه المستوى الديكارتي نسبه الى الرياضي والفيلسوف الفرنسي ريناد وهو المستوى الثنائي الذي يتالف من محورين متعامدين كما يوجد المستوى ثلاثي الابعاد والذي يستخدم لتصور الاجسام في الفراغ ويتالف من ثلاثه محاور متعامده تمثل الطول والعرض والعمق ولتخيل المستوى الاحداثي الثلاثي انظر الى زاويه في غرفتك وستجد ثلاثه محاور متعامده فيها كما يوجد المستوى الاحداثي الرباعي والذي يعتبر الزمن البعد الرابع فيه ولكن ماذا عن المستوى الاحداثي الذي يتالف من 26 بعدا كيف يمكن تخيله من السهل على المرء تخيل المستوى الاحداثي الثنائي وقد يجد البعض صعوبه في تخيل المستوى الاحداثي الثلاثي وتزداد الصعوبه بازدياد ابعاد نظام الاحداثيات الذي يتعامل معه ولكن هذه الانظمه لا تستخدم فقط لتمثيل الاشياء في الفراغ وتصورها كان تمثل صندوقا تراه في الغرفه فتضعه على المحاور الثلاثه فيكفي استخدام نظام الاحداثيات الثلاثي للتصور وانما تستخدم هذه المستويات الاكثر تعقيدا او كما تسمى بالهندسه كبيره الابعاد للنمذجه ونختار عدد الابعاد وفقا لتعقيد المساله فنمزجه المسافه التي تقطعها السياره عبر الزمن هي مساله بسيطه نحتاج فيها الى مستوى احداثي ثنائي يتكون من محور للزمن واخر للمسافه اما لنمذجه المسائل الاكثر تعقيدا فسنحتاج الى انظمه احداثيه اكثر تعقيدا فنمذجه تطبيق اقتصاديا لشراء الاسهم تتطلب معرفه العديد من المعلومات كقيم الاصول المختلفه وحجم القوه العامله وتكلفه المواد الخام وغيرها من المعلومات وكل واحده من هذه المعلومات تمثل بعدا في نظام الاحداثيات الذي سنحتاجه لنتمكن من تحديد ايه حاله كنقطه في هذا الفضاء ومعرفه اذا كان شراء السهم مفيدا ام لا الفصل الخامس كان لاقليدس الدور الاساسي في تاسيس علم الهندسه وضع اقليدس كتاب الاصول عام 300 قبل الميلاد وكان لهذا الكتاب اعظم اثر في الرياضيات عبر العصور وقد اعتمد اقليدس في كتابه الذي اسس فيه لعلم الهندسه بالكامل على خمس مسلمات رياضيه بنى عليها كل موضوعات علم الهندسه في زمانه وقد كان يعرف حينها بالهندسه الاقليديه فاحدى المسلمات تنص على انه يمكن رسم خط مستقيم بالوصل بين اي نقطتين بغض النظر عن احداثياتهما في المستوى الديكارتي استطاع اقليدس انطلاقا من المسلمات الخمس اثبات ان مجموع زوايا اي مثلث هو 180 درجه وقد شغلت الهندسه الاقليديه عقول الرياضيين والفلاسفه حتى القرن الثامن عشر حتى انها دفعت عالم الرياضيات كارل فريدريش جاوس الى قياس الزوايا بين قمم الجبال الثلاث بروكن انسلبرج وهوين هاجن في المانيا للتحقق من صحه الهندسه الاقليديه في مجموع زوايا المثلث وقد اختبر العلماء هذه المسلمات الخمس في سياقات مختلفه اكثر تعقيدا كالهندسه الكرويه ووجدوا ان هذه المسلمه لا تعمل كلها في حاله تطبيقها على الكره فقره بارزه من الكتاب ان نظره الشائعه التي تصور عالم الرياضيات في قالب النمطي بانه شخص ربما يكون ذكيا جدا ولكنه ايضا غريب وغير مهندم وعازف عن الزواج ويميل الى العزله ليست بقاعده صحيح انه يوجد القليل من علماء الرياضيات الذين ينطبق عليهم هذا القالب الى حد ما ولكن لا شيء اكثر غباء من اعتقاد ان المراه في حال ما لم ينطبق عليه هذا القالب لا يمكن ان يكون ماهرا بالرياضيات الخاتمه ان الرياضيات ليست الموضوعات الممله التي تعرفت عليها في المدرسه والجامعه بل الطريقه الاساسيه لمحاكاه مسائل العالم الحقيقي لدراستها واستكشافها وقد كان انغماس البعض فيها فلسفيا والبعض الاخر تجريديا سببا رئيسا في فقدان القدره على فهمها والاستفاده منها ويعزى الفضل الاكبر في الرياضيات عبر التاريخ الى الكثير من العلماء والمبدعين ولعل ابرزهم اقليدس الذي اسس في كتابه الاصول علم الهندسه هو ختاما يجب تصحيح الافتراضات الخاطئه التي نمتلكها عن الرياضيات وعلمائها فهي علم لا يتعامل مع الارقام تامه الدقه فمعظم حلول المسائل الرياضيه هي ارقام تقريبيه كما يجب ان ننظر الى علماء الرياضيات بطريقه اكثر واقعيه بعيدا عن الصوره النمطيه التي رسمناها لهم في مخيلتنا