ما هي الأعداد غير النسبية ولمَ يجب أن تكون موجودة

السلام عليكم ورحمه الله تعالى وبركاته اهلا وسهلا بكم في فيديو جديد من قناه ساينتيفك فلاش لايت بهذا الفيديو راح نتكلم عن الاعداد غير النسبيه او ذ اراشونال نمبرز طبعا انا اخترت اعمل فيديو منفصل عن الاعداد غير النسبيه لكونها فعلا عالم مبهم تماما عند البعض يعني ممكن المتعلم يعرف بعض الخصائص الخاصه فيهم لكن للاسف غالبا لا يفهم الجوهر تبعهم رغم كونهم اعداد بسيطه ومفهومه وجميله جدا حقيقه ان شرحت كما ينبغي فبهذا الفيديو رح نجاوب عن الاسئله التاليه اولا متى اكتشفت الاعداد غير النسبيه وما هي اهم خصائصهم ثانيا لماذا لا بد من وجود هيك اعداد بالرياضيات او ما البرهان على وجودهم يعني ثالثا ان كان فعلا انه احد خواصهم انه لا يمكن كتابتهم على شكل كسر يعني ما في قيمه اوزعها على قيمه ثانيه واشوف النسبه بيناتهم فكيف فيني احتسب بقيمه هيك اعداد رابعا هل يوجد فعلا اعداد لا نعرف الى الان هل هي نسبيه ام غير نسبيه طبعا هذا الفيديو ملحق بالفيديو السابق عن تاريخ اكتشاف الاعداد ففيك تراجع الفيديو السابق رح تلاقي رابطه بوصف هذا الفيديو وهلا خلونا نشكر رعاه هذه الحلقه واذا كنت ترغب انك تكون راعي لاحدى حلقاتنا المستقبليه فيمكنك ذلك عبر دعمنا اما على باي بال او باتريت راح تلاقي جميع الروابط بوصف هذا الفيديو واذا كنت زائر جديد بقناتنا واعجبك محتواها فلا تنسانا من اللايك والاشتراك وتفعيل زر الجرس ليصلك الجديد واختصارا للوقت على ايه حال دعونا نبدا طبعا بحب انوه انك ممكن تشوف انه الفيديو عم يحكي فقط عن جذر الاثنين لكن انا بعد كل نقطه رح اشرحها عن جذر الاثنين رح اوضح كيف بعمم هذا الكلام على باقي الاعداد الغير نسبيه فهلا خلونا خلونا نبلش حقيقه على الراجح انه جذر الاثنين هو اول عدد غير نسبي مكتشف او برهن على وجوده وكان ذلك على يد الفيلسوف والرياضي اليوناني هيباسوس هيباسوس كان ضمن مجموعه اسمهم الفيثاغورثيين هذول مجموعه عندهم شويه معتقدات مش هلا وقت نفصل فيها لكن نمط التفكير السائد وقتها انه اي عدد موجود لا بد انه يمكن كتابته على شكل نسبه بين عددين صحيحين فيما يسمى الان بالاعداد النسبيه يعني الاعداد الطبيعيه مثلا نسبيه لانه تكتب على شكل نسبه بين عددين صحيحين الصفر كذلك الاعداد السالبه كذلك الاعداد اللي فيها فاصله منتهيه وحتى الاعداد الدوريه اللي هي بتتكرر بعد الفاصله بشكل لانهائي مثل الواحد علىثلاثه فكل هي الاعداد نسبيه او راشونال لانه ببساطه كتبت على شكل نسبه بين عددين صحيحين فكان يعتقد انه لا يوجد الا اعداد نسبيه لوائد جاء هيباسوس وقدم برهان على وجود عدد يخرق هذا القانون طبعا قيل انه قتل وقتها لانه جاء بما يخرق الاعتقاد السائد عند الفيثاغورثيين او بالاحرى هن اعتقدوا للوهله الاولى انه هذا الكلام قد ينسف كل شيء بيعرفوه عن الرياضيات او الارقام وفعلا فقد كان وراء ما طرحه هيباسوس عالم من الاعداد المختلف المسمى الان بالاعداد غير النسبيه اهم خاصيه لهي الاعداد انه لا يمكن كتابتها على شكل نسبه بين عددين صحيحين طيب خلونا هلا نطرح برهان على وجودهم بناء على هي الخاصيه فقط بعدين بنكمل كلام على خصائصهم البراهين اللي حنعتمدها من نوع يسمى برهان بالتناقض او بروف باي كونترودكشن طيب خلونا نشرح فكره البرهان يعني لو جاء شخص معين وقال لك انا اكتشفت فرضيه او نظريه او قانون رياضي حتى يخو حولني اني احل بعض المسائل الرياضيه اللي لم تحل الى الان وقدم لك حل ه المسائل بناء على ما اكتشفه لكن حل ه المسائل كان كله خاطئ فشو اول شيء حتفكر فيه؟ ببساطه كون فرضيته او اللي اكتشفه او الشيء اللي اعتمد عليه يعني خاطئ طبعا ايوه نفس الموضوع معنا بهذا البرهان نحن حنفترض اول شيء افتراط بعدين نشوف مقتضى هذا الافتراض ان كان المقتضى صحيح فالافتراض اساسا صحيح وان كان المقتضى خاطئ فالافتراض اساسا خاطئ فخلونا نبلش نشوف شو عمل هيباسوس لبرهن على وجود عدد يخرق قانون انه كل عدد لازم يكتب على شكل نسبه بين عددين صحيحين طبعا اول شيء رح نطرح برهان هيباسوس لكن ممكن يستصعبوا البعض فرح نطرح بعده مباشره برهان ابسط ان شاء الله هلا لو جبنا مثلث قائم متساوي الساقين طول الضلع القائمه فيه فحسب نظريه فيثاغورث طول الوتر حيكون جذر الاثنين لكن المشكله اللي واجهها هيباسوس انه ما قدر يكتب قيمه هذا العدد على شكل نسبه ابدا حتى عجز عن هذا الشيء بعدين اكتشف انه اساسا هذا العدد لا يمكن كتابته على شكل نسبه وقدم البرهان التالي هيباسوس خلونا نفترض اول شيء انه يمكن كتابه جذر الاثنين على شكل كسر بي على كيو هذا اول افتراض بعدين افترض افتراض انه خلونا نفترض بي على كيو كسر مبسط بحيث لا يوجد اي قاسم مشترك بين البي والكيو طبعا تبسيط اي كسر شيء ممكن رياضيا وهذا الشيء بيعني انه البي او الكيو لازم يكونوا اعداد فرديه او واحد عدد فردي والثاني عدد زوجي فمثلا 2 على ا كسر غير مبسط قدر الامكان لانه في قاسم مشترك بين الاثنين والاربعه الا وهو الاثنين فلازم نبسطه اكثر فبصير صير واحد على ا فالفكره هون انه نحن هلا لما رح نثبت انه هيك كسر مستحيل يكون موجود بنكون اثبتنا انه جذر الاثنين مستحيل ينكتب على شكل كسر بي على كيو فنحن هلا عننا جذر الاثنين يساوي بي على كيو بضرب الطرفين بكيو فبصير عننا جذر الاثنين ضرب كيو يساوي بي بربع الطرفين فبصير عننا 2 كيو تربيع يساوي بي تربيع طيب ركز معي هلا شوي اي قيمه قيمه بالرياضيات لو ضربناها بالاثنين سواء كانت هي القيمه عدد فردي او عدد زوجي رح ينتج عنا عدد زوجي مثال ذلك 2 × 4 = 8 عدد زوجي 2 × 9 = 18 عدد زوجي رغم انه التسعه عدد فردي والاربعه عدد زوجي اساسا تعريف العدد الزوجي هو اللي يمكن كتابته على شكل اثنين ضرب عدد طبيعي فكي مثلا عدد زوجي رياضيا انكتبت على شكل 2 ضرب ضرب ان بحيث انه ان عدد طبيعي كما قلت طيب لو دققت انت هون فالبي تربيع لازم تكون عدد زوجي لانه كتبت على شكل اثنين ضرب قيمه معينه بالرياضيات بس نحن هلا عرفنا البي تربيع هي عدد زوجي فالبي هي عدد زوجي ولا فردي بالحقيقه عننا قاعده بسيطه بالرياضيات انه تربيع العدد الفردي ينتج عدد فردي لكن تربيع العدد الزوجي ينتج عدد زوجي فبي تربيع عدد زوجي اذا البي عدد زوجي هذا اول استنتاج وصلنا له بناء على الفرضيتين اللي قلناهم قبل شوي اذا بي يمكن كتابتها على شكل اين ان بحيث انه ان عدد طبيعي بعوض هلا بقيمه بي بالمعادله اللي معنا اياها فبصير معنا 2 كيو تربيع تساوي 4 ان تربيع بنقسم الطرفين على اثنين فبصير معنا كيو تربيع تساوي 2n تربيع نفس الكلام اللي حكيناه بخصوص البي تربيع منرد بعيده هون كيو تربيع كتبت على شكل 2 ضرب عدد معين اذا كيو تربيع عدد زوجي بما انه كيو تربيع عدد زوجي اذا لابد انه الكيو عدد زوجي كذلك هذا ثاني استنتاج وصلنا له بناء على الفرضيتين اللي طرحناهم كذلك بس لحظه شوي النتائج اللي طلعت معنا انه البي والكيو هي اعداد زوجيه بس هذا الشيء يخالف ثاني افتراض فرضناه وهو انه البي والكيو ما عندهم اي قاسم مشترك ليش يخالفه؟ لانه اذا اثنيناتهم اعداد زوجيه مثل ما توصلنا فعلا اذا لا بد انه عندهم قاسم مشترك الا وهو الاثنين يعني الوضع هلا انه نحن افترضنا افتراض وتوصلنا لشيء يناقض افتراضنا اذا حسب البرهان بالتناقض الفرض كان خاطئ الكسر بي على كيو لا يمكن انه يكون موجود وبالتالي جذر الاثنين لا يمكن انه يكتب على شكل كسر وهكذا برهن هيباسوس انه وتر المثلث القائم متساوي الساقين طول الضلع القائمه في واحد لا يمكن كتابته على شكل كسر طبعا هذا البرهان شوي ممكن يكون صعب بالنسبه للبعض فرح نطرح هلا واحد ابسط بكثير البرهان الثاني خلونا نفترض انه جذر الاثنين يمكن كتابته على شكل كسر على bضرب الطرفين ببي بصير عنا هي المعادله بنربع الطرفين بصير عننا 2 بي تربيع تساوي تربيع يعني تربيع زائد تربيع تساوي تربيع لكن عزيزي المشاهد هي المعادله مستحيله عننا نظريه بالرياضيات يستحيل جمع مربع عدد طبيعي مع نفسه ويساوي مربع عدد طبيعي اخر فيك تجرب 1 ترب + 1 تربي = 2 ترب + 2 تربي = 8 3 تربي + 3 ترب = 18 طيب هل يوجد عدد طبيعي اذا ربعناه بيعطينا اثنين او ثمانيه او 18 اكيد لا بس ممكن تقول لي صفر ص تربيع زائد صفر تربيع يساوي صفر تربيع لكن عزيزي المشاهد انتبه انه البي هون بالمقام بالتالي لا يمكن انه تساوي الصفر كذلك الا لا يمكن انه تساوي الصفر اذا وحسب البرهان بالتناقض نحن بنكون افترضنا افتراض ووصلنا لنتيجه او معادله بالاحرى غير صحيحه اذا لا بد انه الافتراض خاطئ هلا بدي اياك ترجع للخلاصه اللي توصلنا لها الحلقه السابقه نحن قلنا خلاصه بالحلقه السابقه انه لما كنا كنا نكتشف انه في ضعف بالنظام العددي الموجود كنا ببساطه نخترع نظام عددي جديد بتعبير ادق بيكون في نظام عددي جديد مخبا وراء هذا الضعف لا يكتشف فهيباسوس لما طرح هذا البرهان ببساطه برهن بنفس الوقت على وجود نوع ثاني من الاعداد لا يمكن كتابته على شكل نسبه بالشروط اللي طرحناها اذا برهن على وجود الاعداد غير النسبيه طيب ممكن تقول لي انه نحن لحد الان ما تكلمنا الا عن جذر الاثنين فعزي المشاهد كل البراهين اللي طرحناها فيك تطبقها مع باقي الجذور التربيعيه جذر الاثنين جذر الثلاثه جذر الخمسه جذر السته طبق البراهين اللي قلناها وبتوصل لنفس الاستنتاجات انه هي الاعداد غير نسبيه وبنفس الوقت طبق الحكي اللي حكيناه على شيء مثل جذر الواحد وجذر الاربعه وجذر التسعه بتوصل فعلا انه لا هي الاعداد يمكن كتابته على شكل نسبه الاعداد اللي لها جواب طبعا مربع ويساوي القيمه اللي تحت الجذر بشكل كامل اوكي نحن لهلا عرفنا انه في اعداد غير نسبيه بس شو خصائص هي الاعداد اول خاصيه لهي الاعداد انه لا تكتب على شكل نسبه بالشروط اللي طرحناها وها هي اساسا الميزه الاساسيه اللي خلتنا نبرهن على وجود هذا النوع من الاعداد ثاني خاصيه انه الاعداد اللي بعد الفاصله لانهائيه وهذا الشيء رح يفسر لما رح نحكي عن كيفيه احتساب قيمه ه الاعداد ثالث شيء انه الاعداد اللي بعد الفاصله لا تظهر اي نمط تكرار ابدا سبب هالشيء انه ما قدرنا نكتبهم على شكل كسر ببساطه رابع خاصيه انه جمع عدد نسبي مع عدد غير نسبي يساوي عدد غير نسبي ورح احاول اطرح برهان هالشيء وغيره من الاشياء اللي حاذكرها بهالحلقه بعد على صفحتنا على الفيسبوك ان شاء الله خامس خاصيه انه ضرب عدد نسبي مع عدد غير نسبي يساوي عدد غير نسبي. سادس خاصيه انه ضرب عدد غير نسبي مع عدد غير نسبي ممكن ينتج عدد نسبي مثل جذر 6 ضرب جذر 6 يساوي 6 وقد تجد بعض الخصائص الثانيه كذلك طيب نحن بناء على اول ثلاث خصائص ممكن ينشا عننا هلا تساؤل اذا كانت هي الاعداد لا تكتب على شكل نسبه والاعداد فيها بعد الفاصله لا تتكرر ولا تنتهي طيب نحن كيف فينا نحتسب قيمتها اصلا من وين جبنا مثلا هي الاعداد اللي بعد الفاصله لجذر الاثنين فللتنويه فقط بلا ما نقول كلمه حسبنا قيمه عدد غير نسبي بهالاطلاق هذا لكن خلونا نقول ادرنا قيمه العدد الغير نسبي لانه كما قلنا الاعداد بعد الفاصله لا تنتهي ولا تتكرر بس طبعا يبقى السؤال كيف قدرنا قيمه هذا العدد فبالحقيقه يوجد الكثير من الطرق خلونا هلا نبلش نحكي عن طرق احتساب الاعداد غير النسبيه اول طريقه عبر الكس سور المستمره يعني ببساطه ايجاد كسر بيعطيني قيمه تقريبيه اكثر واكثر للجذر التربيعي مثلا نحن عننا الجذر التربيعي للاثنين فينا نخليه بيساوي 1 + جذر 2 - يعني زدنا واحد بعدين نقصناه فما عملنا شيء طيب جذر 2 - هي خلونا هلا نعمل لها شيء يسمى تعقيل البسط يعني بنضربها بجذر 2 + 1 على جذر 2 + 1 طبعا هذا التعبير بيساوي واحد فنحن عم نضرب هلا جذر 2 - 1 ب 1 يعني منا عم نغير قيمته فبصير عننا الاجابه هلا البسط هلا هو من المتطابقات الشهيره تربيع الاول ناقص تربيع الثاني يعني 2 - 1 والمقام هو جذر 2 + 1 يعني الخلاصه جذر 2 - 1 = 1 على 1 + جذر 2 هلا خلونا نعوض قيمه جذر 2 نا بهذا التعبير فرح بصير عننا هذا الشكل هلا بتلاحظوا انه نحن عننا على الطرف اليسار جذر الاثنين وعلى الطرف اليمين في جذر الاثنين لكن اللي بالطرف اليمين موجود بالمقام فالحيله هون انه نحن لنلاقي قيمه تقريبيه اكثر واكثر لجذر الاثنين بنبلش نعوض كل قيمه هذا التعبير بجذر الاثنين اللي موجود بالمقام فبصير عنا هذا الشكل جذر الاثنين 2 = 1 + 1 على 1 + 1 + 1 على 1 + جذر 2 يعني 1 + 1 على 2 + 1 على 1 + جذر 2 لو كررنا هي العمليه مره مرتين فبنلاحظ انه عننا النمط عم يتكرر على هذا الشكل ببساطه المقام عم يضل يصير 2 + 1 على 2 + 1 على 2 + وهكذا فهلا لنلاقي اول قيمه تقريبيه لجذر الاثنين بناخذ اول كسر اللي هو 1 1 على 2 بعدين ثاني كسر بعدين ثالث كسر بعدين رابع كسر خامس كسر ايوه بنلاحظ انه كل ما عم نزيد الكسور كل ما عم نحصل على تقريب افضل لقيمه جذر الاثنين نفسه طبعا تعميم هي القاعده على هذا الشكل جذر الاس يساوي ساوي 1 اس نا على 1 جذر الاس وطبعا عبر تمثيله بكسر غير منتهي رحنا هذا الشكل وبالمناسبه لازم تعرف انه هي الطريقه مش بس خاصه بالجذور التربيعيه بل بباقي الاعداد الغير نسبيه كالباي والاي لكن بمقاطعهم حنوضح كيف حنكتبهم على شكل كسور غير منتهيه ثاني طريقه لحساب الاعداد غير النسبيه عبر السلاسل غير المنتهيه خلونا نشرح نحن بنعرف مثلا انه عننا داله مثلثيه مثل ساين الاكس وهي تساوي اكس ناقص اكس تكعيب على 3 عامله زائد اكس قوه 5 على خ عامله الى اخره ممكن تقول لي شو دخل داله الساين بالموضوع فنحن هون رح نلجا لحيله معينه فنحن بنعرف انه مثلا ساين الباي/ ا يساوي جذر 2/2 بالتالي جذر الاثنين = 2 ساين الباي على اربعه بالتالي لنحصل على قيم تقريبيه اكثر واكثر لجذر الاثنين فبنضرب اثنين بسلسله الساين هي كل ما زدنا كسور بهي السلسله كل ما حصلنا على قيمه تقريبيه افضل وافضل لجذر الاثنين نفسه طبعا نفس الطريقه فيك تستخدمها على اي جذر بتلاقي له داله مثلثيه بتساويه مثلا جذر الثلاثه تساوي اثنين ساين الباي على 3 طبق نفس الموضوع بثلاثه تلاقي قيم تقريبيه افضل وافضل له طبعا لا تنسى انه هي الطريقه فيك تطبقها مع باقي الدوال المثلثيه ككوساين الاكس وتان الاكس مثلا ثالث طريقه وهي خاصه بالجذور التربيعيه وهي تسمى الطريقه البابليه هي على هذا الشكل خلونا نشرح لحساب مثلا قيمه جذر الاس فبنختار قيمه بنعرفها نحن قريبه منه بنسميها اكس صفر يعني مثلا لنحسب قيمه جذر السبعه 27 فبنختار اكس صفر هي جذر ال 25 او اللي هي بتساوي خمسه نحن بنعرف مبدئيا انه الاكس صفر ها هي قيمه تقريبيه لجذر الاس ببساطه لنلاقي هلا قيمه تقريبيه لكن ادق من اكس صفر ببساطه بنحسب اكس واحد ولنلاقي قيمه تقريبيه ادق من اكس واحد بنحسب الاكس اثنين وهكذا كيف بنلاقي الاكس واحد او الاكس اثنين او باقي القيم التقريبيه عبر هي الصيغه بنطبق ت= 1/2 مضروبه باكس صفر زائد اس على اكس صفر فبتطلع معنا اكس ت= 5.2 بنحسب كذلك اكس اين بتطلع معنا 5.196 بنطبق كذلك اكس فبتطلع معنا 5.196 اذا ببساطه جذر 27 = تقريبيا 5.196 19 6 الطريقه الرابعه لاحتساب اي عدد غير نسبي هو انه نخلي هذا العدد ببساطه حل لمعادله معينه ونلاقي حل ه المعادله عبر طريقه نيوتن اللي تعمل على ايجاد قيم حلول المعادلات بشكل تقريبي يعني مثلا لنلاقي جذر الش فبنعمل معادله اكس تربيع نا 10 ت= صفر ايجاد حل ه المعادله عبر طريقه نيوتن يساوي تماما ايجاد القيمه التقريبيه لجذر العشره طبعا لضيق الوقت ما رح نقدر نشرح طريقه نيوتن بهذا المقطع لكن فيك تطلع عليها على الانترنت الخامسه وقد تكون صادمه يعني وهي ايجاد قيم الجذور التربيعيه عبر القسمه المطوله اساسا وان شاء الله رح نعمل فيديو منفصل عن القسمه المطوله واسرارها بنوضح في ه النقطه وبالختام لا يزال العالم الرياضي واسع جدا جدا وفي كثير من الامور المبهمه والغامضه يعني اعداد مثل الباي والاي اللي حتكون الفيديوهات القادمه عنهم تقريبا كل العلاقات اللي بيناتهم مثل باي زائد اي باي ناقص اي باي ضرب اي باي على اي باي قوه باي اي قوه اي باي قوه اي باي قوه جذر الاثنين اي قوه باي تربيع كل هي الاعداد لهلا مش معروف هل هي نسبيه ام غير نسبيه ام متساميه ام جبريه مثلا ممكن تسال ليش فبكل بساطه لانه ما في برهان يحدد نوع اي عدد منهم وبهيك بنكون انتهينا من فيديو اليوم وانتظرونا بالفيديوهات القادمه وبالنهايه اذا اعجبك المحتوى اللي عم نقدمه فلا تنسانا من اللايك والاشتراك وتفعيل زر الجرس يصلك الجديد ويمكنك ان تكون راعيا لاحدى حلقاتنا المستقبليه عبر دعم اما على باي بال او بتاترين راح تلاقي جميع الروابط بوصف هذا الفيديو يمكنك كذلك التواصل معنا اما عبر الايميل الظاهر على الشاشه او عبر صفحتنا على الفيسبوك ختاما دمتم في امان الله