أولمبياد الرياضيات 2023 مساحة المثلث math Olympiad area of right triangle

السلام عليكم ورحمه الله اهلا بكم اصدقائي في مسالتنا لهذا اليوم المطلوب ايجاد مساحه المثلث القائم معطيات هذه المساله لدينا متوسط المثلث وطوله يساوي واحد سنتيمتر ولدينا محيط المثلث يساوي اثنين زائد جذر السته سم نامل ان نرى اجاباتكما اراكم في التعليقات ويسعدنا ذلك بكل تاكيد ونبدا سويه حل هذه المساله نعلم جميعا ان مساحه المثلث تساوي نصف مضروبه في طول القاعده مضروبا في الارتفاع ولكن هنا القاعده مجهوله والارتفاع مجهول ولكن لدينا متوسط المثلث طوله يساوي واحد سم ومن خلال هذا المتوسط يمكن ايجاد طول الوتر اذا ان طول الوتر يساوي واحد الزائد واحد لان متوسط المثلث طوله يساوي نصف طول الوتر اذا بذلك نكون قد حصلنا على طول الوتر وطوله يساوي 2 سم الان نعود الى المحيط ومحيط المثلث كما تعلمون يساوي مجموع الاضلاع ولدين هنا الوتر لوحده اثنين نقوم بطرح اثنين من المحيط يبقى لدينا الارتفاع زائد القاعده مجموعهما يساوي جذر السته ونشكل معادله بالطريقه الاتيه نفرض بدايه مثلا ان القاعده طولها يساوي اكس واي يكون لدينا الارتفاع يساوي جذر السته ناقص اكس الان سوف نستخدم هنا نظريه فيثاغورس لتكوين معادله وحلها وبالتالي ايجاد قيمه وبتطبيق نظريه فيثاغورسيكون لدينا الضلع ضلع القائم الاول اللي هو جذر السته ناقص اكس تربيع زائد ضلع القائمه الثاني تربيع اللي هو اكس تربيع وهذا يساوي الوتر التربيع هو لدينا اثنين تربيع لا نقوم بايجاد المفكوك الاول وهذا المفكوك يساوي الاول تربيع الاول اللي هو جذر 6 تربيع اللي هو يساوي سته ناقص اثنين في الاول في الثاني اثنين ضرب جذر السته ضرب اكس 2 جذر سته اثنين جذر السته ضرب اكس اثنين جذر السته اكس زائد الثاني تربيع والدينا اكس تربيع بالشكل الاتي زائد ما ننسى الاكس تربيع الموجوده بالاصل في المعادله وهذا يساوي اثنين تربيع طبعا هنا اثنين تربيع اللي هي تساوي اربعه الان نقوم باعاده تجميع لهذه المساله والدينا هنا اكس تربيع سوف نقوم بجمعها مع اكس تربيع طبعا نجمع المعاملات ولدينا الثابت سوف ننقله الى الطرف الاخر وتصبح المعادله بعد التبسيط اكس تربيع زائد اكس تربيع اللي تساوي اثنين اكس تربيع ناقص اثنين جذر السته اكس والدينا سته ناقص اربعه اللي هي تساوي موجب اثنين اذا لدينا زائد اثنين وهذا يساوي صفر الان لتسهيل حل هذه المساله نقوم بقسمه جميع الحدود على اثنين وتصبح لدينا اكس تربيع ناقص جذر السته اكس زائد واحد وهذا يساوي صفر الان هذه المعادله سوف ناخذها ونستخدم القانون العام لايجاد قيمه حل المعادله بالقانون العام نعين بدايه المعاملات الرئيسيه وايه معامل اكس تربيع تساوي واحد بمعامل اكس وتساوي سالب جذر السته ولدينا سي الحد الثابت ويساوي واحد في الخطوه الاولى نجد المميز والمميز يساوي بي تربيع ناقص اربعه طبعا نقوم بعمليه التعويض في الخطوه الاتي بي تربيع اللي هي سالب جذر السته تربيع و تساوي سته ناقص اربعه مضروبه في اي اللي هي تساوي واحد مضروبه في سي ايضا تساوي واحد ويكون لدينا سته ناقص اربعه وهذا يساوي اثنين اذا حصلنا من هنا على قيمه المميز وقيمه المميز كانت تساوي اثنين الان ناتي الى القانون العام والقانون هو الاتي اكس ماذا تساوي تساوي سالب بي زائد ناقص جذر التربيعي المميزه الذي قمنا بحسابه قبل قليل مقسوم على اثنين مضروب في اي الان نقوم سويه باجراء عمليه التعويض سالب اللي هي سالب السالب جذر 6 وهذا يساوي موجب جذر السته ناخذ بدايه القيمه الموجب والدين الجذر التربيعي المميز وهو اثنين وهذا مقسوما على اثنين ضرب اي ايه اللي هي تساوي واحد اثنين ضرب واحد اللي هي تساوي اثنين اذا حصلنا من هنا على قيمه اكس قيمتها تساوي جذر السته زائد جذر الاثنين على اثنين طبعا سوف ينتج لدينا من هنا قيمتين لاكس ولكن في هذه المساله سوف يعطيان نفس النتيجه اذا سوف نختار قيمه الاولى ومن ثم نمضي قدما في حل هذه المساله الان سوف نجد الارتفاع بتعويض قيمه ويكون لدينا الارتفاع هو جذر السته ناقص قيمه وقيمه اكس هي الاتي جذر التربيع للسته زائد الجذر التربيعي ل2 مقسوم على اثنين الان لحل هذه المساله نقوم بوضع جذر السته على واحد ومن ثم نقوم بتوحيد المقامات نضرب هنا في اثنين ونضرب هنا في اثنين وتصبح المساله لدينا اثنين ضرب جذر سته لتساوي اثنين جذر السته ناقص جذر السته ناقص جذر الاثنين والكل مقسوم على اثنين الان لدينا هنا عمليه طرح وعمليه الطرح هي الاتيه لدينا اثنين جذر السته ناقص جذر اللي هو تساوي واحد جذر سته او جذر السته اذا لدينا في البسط سوف يكون لدينا جذر السته ناقص جذر الاثنين وهذا مقسوم على اثنين اذا حصلنا من هنا على ارتفاع اذا حصلنا من هنا على ارتفاع هذا المثلث في الخطوه الاخيره نقوم بايجاد المساحه والمساحه او مساحه المثلث تساوي نصف مضروبه في طول القاعده وطول القاعده جذر السته زائد جذر الاثنين على اثنين ضرب الارتفاع والارتفاع يساوي جذر السته ناقص جذر الاثنين على اثنين الان نقوم بعمليه ضرب بسط مع بسط ومقام مع مقام ويكون لدينا في المقام اثنين ضرب اثنين اربعه ضرب اثنين تساوي ثمانيه وفي البسط سوف يكون لدينا لدينا واحد ضرب جذر 6 + 2 = جذر السته زائد جذر الاثنين مضروب في جذر السته ناقص الجذر الاثنين لا سوف نقوم بالضرب بالطريقه الاتيه الجذر سته نضربها بالقوس كاملا وجذر اثنين ايضا سوف نضربها في القوس كاملا ويكون الناتج بالشكل الاتي نضرب سويه لدينا جذر سته ضرب جذر سته تساوي سته الان جذر السته ضرب سالب جذر الاثنين اللي هو يساوي سالب جذر السته مضروب في جذر الاثنين الان لدينا الجذر 2 ضرب جذر سته اللي هو يساوي موجب جذر السته مضروب في جذر الاثنين بقي لدينا اخيرا جذر الاثنين ضرب سالب جذر 2 اللي هو يساوي سالب اثنين وهذا مقسوم على ثمانيه لا لدينا هنا عمليه اختصار سالب جذر سته جذر 2 مع جذر السته جذر الاثنين طبعا العدد زائد معكوسه اللي هو يساوي صفر ويبقى لدينا في الوسط العمليه الاتيه 6 - 2 اللي هي تساوي اربعه وهذا مقسوم على ثمانيه ولدينا اربعه تقسيم ثمانيه اللي هي تساوي نصف والوحده طبعا سم مربع اذا مساحه هذا المثلث تساوي نصف سم مربع والسلام عليكم ورحمه الله