بداية المصفوفات وتطورها نظم المعادلات الخطية

السلام عليكم اهلا بك في الحلقه الثالثه من سلسله الجبر الخطي كثير منا يرى الجبر الخطي على انه علم مليء بالارقام والمصفوفات والتعقيدات النظريه التي تبدو بعيده عن اي نفع او اهميه لكن في هذه السلسله ساص احبك في رحله لنكتشف معا كم ان هذا العلم بسيط ومهم في عالمنا اليوم ستندهش عندما تعرف ان الجبر الخطيه هو السر وراء ظهور الصور على شاشات التلفاز والهواتف هو العقل المدبر خلف تنميه الذكاء الاصطناعي وتسيير الخوارزميات التي تدير حياتنا الرقميه بل هو احد اكبر الادوات التي نستخدمها في دراسه الفيزياء جنبا الى جنب مع التفاضل والتكامل وفعلا ياال السخريه تخيل معي كيف يمكن لعلم يبدو معقدا عديم الفائده ان يكون احد الادوات الاساسيه في تسيير العالم الحديث تكنولوجيا في هذه السلسله ان شاء الله وكعادتنا في المصباح العلمي سنضيع اهم النقاط في هذا العلم احد اهم المشكلات عند دراستنا لاي علم من العلوم هو اعدم اعتنائه بمقدمات هذا العلم يعني لو قلنا مثلا ادرس التفاضل والتكامل من اكبر الاخطاء ان تبدا بدراسه التفاضل والتكامل قبل ان يكون لديك فكره موسعه عن الدوالي وفكره النهايات نفسها لان معرفتك بهذه المقدمات تسهل عليك كثيرا دراسه التفاضل والتكامل نفسه سبحان الله نفس الموضوع تماما يتكرر مع الجبر الخطي هناك مقدمه مهمه عن المتجهات ونظم المعادلات الخطيه لا بد ان تتمكن من فهمها قبل الانطلاق في بحر الجبر الخطي نفسه ولذا كان موضوع حلقه اليوم هو كيف نشا علم الجبر الخطي وعنونت الحلقه ب كيف ينشا علم في الرياضيات ببساطه سنتعرف على الحكايه التاريخيه والاسباب التي ادت لنشوء هذا العلم بالتحديد نظام المعادلات الخطيه هذا ما هو مفهومه وكيف نجد حلوله هندسيا وجبريا وقبل ان نبدا لا ننسى ان نشكر رعاه هذه الحلقه من داعمي محتوانا ماديا الذين هم سبب اساس في استمرارنا يمكنك انت كذلك دعمنا من خلال الانضمام للقناه او ميزه التشك اسفل الفيديو كذلك نرجو متابعتنا على وسائل التواصل الاجتماعي كفيسبوك وانستغرام واذا كنت زائرا جديدا في قناتنا واعجبك محتواها فلا تنسانا من الاشتراك وتفعيل زر الجرس ليصلك اي جديد واختصار الوقت على ايه حال دعونا نبدا حتى اشرح من اين جاءت فكره الجبر الخطي فلا بد ان ابدا من نقطه معيره قد يبدو للوهله الاولى ان البدء من هناك بعيد للغايه لكن اريدك ان تكون في هذه الحلقه بالذات صبورا قليلا تبدا حكايتنا يا صديقي من مفهوم المعادله نعم المعادله التي تعني علاقه تساو بين حدين جبريين مثلا 1 2 تساوي 3 هذه معادله لكننا نعلم طبعا ان المعادله قد يكون يكون لها شكل اخر فلو سالتك ما العدد الذي اذا اضفنا عليه اثنين اعطانا خمسه هذه معادله فيها مجهول نرمز له باي حرف كان عاده يكون اكس فهنا انا كانني سالتك اك ئ 2 تسا 5 هذه معادله بمجهول واحد فنقوم بتبسيط وحلها عبر الخطوات المعروفه المجاهيل في الطرف والمعالم في طرف وينتهي الموضوع بوصولنا لقيمه المتغير الذي هو في هذه الحاله ثلاثه كل هذا سهل وواضح ولا اشكال فيه المشكله تبدا عندما يزداد مجهول اخر في المعادله الواحده لو قلت لك اعطني عددين جمعهما خمسه يعني بشكل المعادله + وا تساو 5 قد تقول لي واضحه هما واحد واربعه لكن قد يقول شخص اخر بل هما صفر وخمسه وفي الحقيقه هناك حلول لانهائيه لهذه المعادله يعني يمكنني ان اعطيك عددا لا نهائيا من ازواج الاعداد يكون جمعهما خمسه لكن لو زدت شرطا على سؤالي وقلت لك وان يكون طرحهما واحدا يعني اك ناص وا تساوي 1 فهنا تختفي كل هذه الاحتمالات اللانهائيه ويبقى لدينا حل واحد هو ان تكون الاكس 3 والواي اان وهذا يا صديقي ما يعرف في الرياضيات بنظام المعادلات هو عباره عن شرط يجمع اكثر من معادله معا مثل هذا المثال تماما فهنا قيمه الاكس والواي لا تحقق المعادله الاولى فقط بل تحقق المعادله الاولى والثانيه معا وطبعا حكايه وتطبيقات هذه النظم وفائدتها في الرياضيات اكبر من ان يسال عنها حتى يعني تخيل اي قيمتين يشتركان في شرط رياضي معين يمكن تكوين نظام معادلات بينهما وتحديد قيمتهما لنفترض انك مثلا تخطط لشراء هدايا لحدث معين لديك ميزانيه محدده لشراء هدايا من نوعين اقلام وهدايا صغيره لنقل مثلا دفاتر سعر القلم الواحد هو 2 دولار وسعر الدفتر الواحد هو 3 دولارات قررت شراء ع من الاقلام والدفاتر معا في جيبتك 24 دولار فقط فما عدد الاقلام والدفاتر المناسب الذي يمكنك شراؤه طبعا عزيزي هذا المثال ليس لحل معضله عظيمه بخصوص الاقلام والدفاتر كما اجد احيانا في بعض التعليقات انا اتعمد تبسيط المثال لانني اريد في هذا ذه الحاله مثلا ان اوضح كم ان نظم المعادلات هذه تدخل في كل شيء حتى وان لم تلاحظ فهنا وفي هذه المساله يمكن تمثيل هذا الموقف بنظام معادلتين خطيتين المعادله الاولى تمثل العدد الاجمالي للاقلام والدفاتر نقول مثلا عدد الاقلام اكس وعدد الدفاتر واي فاكس ئد واي هو 10 الان المبلغ الاجمالي الذي سيتم انفاقه هو 24 دولار وفكر فيها اذا اردنا ان نحسب سعر الاقلام فسنضطر مع الدفاتر 3 واي فيصير لدينا 2 اكس + 3 واي = 24 الان يمكن حل هذا النظام من المعادلتين لتحديد عدد الاقلام والدفاتر الذي يمكنك شراءه الحل هذا له طرق هندسيه وله طرق جبريه الطرق الجبريه ليس هدفنا ابدا ان نشرحها الان ان نبينها لكن في مثل هذا النظام يمكننا ان نعدل المعادله الاولى حتى تصير قابله للحذف مع الثانيه ونجم معما مع بعضهما ونحسب قيمه المتغير وبعدها نستطيع استنتاج قيمه المتغير اكس الان كما قلت ليس هدفنا ان نفهم الطرق الجبريه بل الهدف ان نفهم الطرق الهندسيه تمام يا عزيزي تعال لنفهم حل هذا النظام هندسيا لو جئنا للمستوى الاحداثي ورسمنا المعادله الاولى لوحدها يعني اك ئ وا تساوي 10 فنحن هنا نبحث عن عددين مجموعهما 10 وكما سبق على هذا الشكل عندنا حلول لانهائيه كل هذه الحلول موجوده على الخط الذي تراه امامك الخط هذا هو مجموعه ازواج الاعداد اكس وواي الذي يكون مجموعهما ع وهي مجموعه او احتمالات لانهائيه كما ترى كل هذه الاحتمالات تختفي عندما نرسم المعادله الاخرى ا اكس زد 3 واي تسا 24 وتظهر عندنا نقطه مميزه للغايه الا وهي نقطه التقاطع نقطه التقاطع هذه مميزه لانها تنتمي للخط الاول وتنتمي للخط الثاني كذلك يعني هي موجوده على الخطين معا فهي تحقق شرط المعادلتين معا وتعتبر هذه النقطه في هذه الحاله هي 6 ا هي حل نظام المعادلات هذا الان كل ما شرحناه هو عباره عن شيء اسمه في الرياضيات ال الهندسه التحليليه معادله مستوى احداثي ارسم اوجد نقطه التقاطع وبالتالي الحل وانتهى الموضوع ام لكن الامر ليس بسيطا بهذا الشكل نحن بالفعل عرفنا اهميه نقطه التقاطع هذه بالنسبه لنظم المعادلات حيث انها تمثل حل النظام ببساطه لكن المشكله يا عزيزي ان ايجاد نقطه التقاطع هذه هو الجزء الاصعب من المهمه فالهندسة النقطه كما بينا قبل قليل على المستوى الاحداثي لكنها ليست جيده بنفس هذا الشكل في تقديم طريقه واضحه لايجاد هذه النقطه وهذا ما عانى منه علماء الرياضيات عبر التاريخ السؤال الاهم الان كيف نجد حل نظام المعادلات هذه بابسط الطرق الممكنه في العصور القديمه تحديدا مثلا في الصين وبابل كان الامر معتمدا بشكل اساسي بخصوص نظام المعادلات يعني على التطبيقات في الحياه الواقعيه بغض النظر عن الاساليب النظريه يعني يحتسبون الامور المتعلقه بالتجاره والصناعه الى اخره بعدها في العصر الذهبي للاسلام تحديدا بين القرنين التاسع والقرن الثاني عشر قدم علماء الرياضيات المسلمون مثل خوارزمي والكرخي وابن الهائم مساهمات في حل المعادلات الخطيه هذه من خلال تطوير طرق الجبر والتحليل العددي طبعا الخوارزمي هو من ارسى اسس علم الجبر الذي يستخدم اليوم لحل نظم المعادلات بالمناسبه هناك حلقه مخصوصه عن الخوارزم قدمناها منذ زمن يمكنك مراجعتها وبعدها ياتي عصر النهضه الاوروبيه بين القرن الس 16 عشر والساب عشر هنا طبعا شهدت اوروبا نقله نوعيه في دراسه نظم المعادلات مع بزوغ اساليب الجبر الحديثه وهنا طبعا كانت الشعله الاولى لعلم الجبر الخطي الحديث حيث استخدمت المصفوفات وطرق الصفوف ديكارت لايبنتس بالذات هما من ساهما باضفاء الطابع المنهجي على الجبر والتحليل الهندسي مما جعل من الممكن التعامل مع نظم اكبر واكثر تعقيدا من المعادلات هذا كله سنوضحه ان شاء الله في الحلقات القادمه لا تقلق بعدها في القرن الثام عشر والقرن التاس عشر يعني يمكنني ان اصطلح انه العصر الذهبي للجبر الخطي تطورت المصفوفات وعمليه حذف جاوس جوردن التي تعد واحده من اشهر طرق حل نظام المعادلات الخطيه ويعود الفضل في تطويرها طبعا الى الرياضي الالماني كارل فريدريك جاوس الان لكي نفهم هذه الطرق باختصار هي من وضعت الاساس لتحليل المعادلات الخطيه ونظمها من خلال عمليه الصفوف والمصفوفات الخلاصه يا عزيزي لو عزلنا تماما فكره الجبر الخطي عن الرياضيات سنجد ان هناك نوعان من الطرق لحل نظام المعادلات الخطيه الطرق الجبريه مثل طريقه التعويض او الحذف فهذه الطرق جيده نسبيا لكنها تكون معقده جدا جدا احيانا حسب النظام الذي نعمل عليه وهناك طرق هندسيه اخرى لكنها ان صح التعبير جيده في شرح معنى الحل اكثر من البحث في طريقه منظمه لايجاده وهنا بالضبط ياتي دور الجبر الخطي يا صديقي كطريقه ثالثه بدل هاتين الطريقتين كل ما مضى من السلسله شيء والاتي شيء اخر تماما فانا الان انصح وبشكل جدي للغايه اذا لم تكن متمكنا من فهم المتجهات فستعيش يمكنك مشاهده اول حلقتين من السلسله التي رابطها في اول تعليق للتعرف على مفهوم المتجهات وايجاده تطبيقها واذا وصلت لهذه اللحظه من الفيديو فلا تنسانا من الاعجاب والاشتراك وتفعيل زر الجرس ليصلك اي جديد ويمكنك التواصل معنا عبر صفحه الفيسبوك او الانستغرام او الايميل الظاهر على الشاشه وفي الختام شكرا جزيلا للمشاهده