الزوايا المحيطية للصف العاشر العام والمتقدم مع حل تمارين من 1 الي 20

السلام عليكم ورحمه الله وبركاته اهلا بكم في درس جديد درسنا الزوايا المحيطيه هنتعلم في الدرس ده ايجاد قياس الزوايا المحيطيه وهنتعلم كمان ايجاد قياس المضلعات المحاطه بدائره الجزء الاول من الدرس الزوايا المحيطيه تعريف الزاويه المحيطيه لها راس يقع على محيط الدائره وضلعين يضم من قوسي الدائره في الدائره سي لدينا الزاويه كيو ار اس زاويه محيطيه هنا عندي الدائره سي نقطه راس الزاويه اللي هي النقطه ار بتقع على محيط الدائره يعني الاطار الخارجي للدائره تقع عليه راس الزاويه ول الزاويه ضلعين هيكونوا بيحصلوا القوس كيو اس قوس اصغر بيقع داخل الزاويه المحيطيه هيكون القوس الاصغر كيو اس والقوس الاكبر اللي هو هيكون القوس كيو ار اس بعد كده هيكون في عندنا ثلاث حالات هيكون الثلاث حالات للزاويه المحيطيه حددهم على اساس نقطه المركز في الدائره الحاله الاولى هيكون نقطه مركز الدائره هتكون نقطه على ضلع من اضلاع الزاويه ويمثل في الحاله دي ضلع الزاويه هيمثل قطر لانه بيمر بالمركز الحاله الثانيه ان هتكون نقطه مركز الدائره داخل الزاويه المحيطيه الحاله الثالثه ان هيكون نقطه مركز الدائره خارج الزاويه المحيطيه اول نظريه بالنسبه للزوايا المحيطيه يكون شكل الزاويه المحيطيه راسها على محيط الدائره ولها ضلعين يح صران القوس اي بي فهنا هيكون في علاقه ما بين الزاويه والقوس التي تحصره الزاويه اذا كانت هناك زاويه محيطيه في دائره فان قياس الزاويه يساوي نصف قياس القوس الذي تحصره يبقى هنقول انه مقياس الزاويه واحد هيساوي نصف قياس القوس اي بي وبالتالي برضو قياس القوس اي بي هيساوي ضعف قياس الزاويه يعني بالتبادل قوس هيكون ضعف الزاويه والزاويه تكون نصف القوس يبقى القاعده مقياس القوس اي ي بيساوي اثنين مقياس الزاويه واحد اللي هي المحيطيه يبقى 2 ضرب الزاويه المحيطيه هيعطيني القوس ومقياس الزاويه لو مجهول نقسم قياس القوس على انين او هنضرب ضرب نص هيعطيني قياس الزاويه نشوف مثال مثال رقم واحد استخدام الزوايا المحيطيه لايجاد القياس جد قياس كل مما يلي مقياس الزاويه ج على الدائره الموجوده معانا الزاويه ب هي زاويه محيطيه راسها موجود على محيط الدائره بتحصل القوس ام ان اللي هو قياسه 70 درجه بالتالي القاعده بتقول اذا كان معلوم قياس القوس للزاويه المحيطيه معناها انه الزاويه المحيطيه هتساوي نصف قياس القوس يبقى هنقسم 70 تقسي 2 هيعطيني الزاويه المحيطيه يبقى هنكتب القاعده قياس الزاويه ب بيساوي نص مقياس القوس التي تحصره اللي هو قوس ام ان بالتع عويض هيكون نص ضرب 70 هيساوي 35 يبقى ده هيكون قياس الزاويه اللي هي زاويه محيطيه المطلوب الثاني مقياس القوس bo هيكون مقابله الزاويه ان اللي هي زاويه محيطيه راسها موجود على محيط الدائره قياس الزاويه ان هيكون 56 لو ضربناها ضرب 2 هيعطيني قياس القوس يبقى هنضرب الزاويه المحيطيه ضرب اين هيعطيني قياس القوس التي تحصره يبقى القاعده مقياس القوس بي هيكون بيساوي 2 ضرب مقياس الزاويه ان اللي هي الزاويه المحيطيه بالتعويض هيكون 2 ض 56 هيساوي 112 تمرين موجه 1 ايه مقياس القوس س اف القوس سي اف في الدائره هيكون قوس محصور للزاويه دي اللي هي زاويه محيطيه قياسها 40 درجه اذا كان القوس الزاويه المحيطيه هيكون مجهول بالتالي هيساوي ضعف قياس الزاويه يبقى القاعده مقياس القوس سي اف هيكون بيساوي اين ضرب مقياس الزاويه دي اللي هي زاويه محيطيه بالتعويض هيكون 2 ض 40 هيساوي 80 درجه ده هيكون مقياس القوس سي اف تمرين موجه واحد ب مقياس الزاويه سي الزاويه سي هيكون زاويه محيطيه راسها على محيط الدائره بتحصل القوس دي اي اللي هو قياسه 98 درجه بالتالي اذا كان القوس معلوم ومطلوب ايجاد قياس الزاويه المحيطيه بنقسم القوس على اثنين او بنضرب ضرب نص هيعطيني الزاويه يبقى القاعده م قياس الزاويه س هتساوي نص قياس القوس المحصور للزاويه يبقى بالتعويض هيكون نص ضرب 98 هيدينا 49 درجه ده هيكون قياس الزاويه س النظريه اللي بعد كده هتكون عباره عن انه الزوايا المحيطيه اذا كان داخل دائره زاويتان محيطان يحصران نفس القوس بالتالي هيكون زاويتان متطابقتان يبقى هنا لو شفنا الزاويه سي هي زاويه محيطيه بتضم القوس اي دي والزاويه هي زاويه محيطيه بتضم القوس نفسه اللي هو اي دي بالتالي مضمون النظريه ازاي كانت زاويتان محيطان في دائره تحصر القوس نفسه اللي هو القوس اي دي او قوسين متطابقين فان الزاويتان متطابقتان بالتالي هيكون الزاويه سي والزاويه ب يحصران القوس اي دي فاذا بال النظريه هتكون الزاويه تطابق الزاويه سي هنطبق النظريه على المثال مثال رقم انين استخدام الزوايا المحيطيه لايجاد القياس جد قيمه مقياس الزاويه تي هنا عندي في الدائره الزاويه تي هي زاويه محيطيه تحصل القوس اس في والزاويه يو كمان زاويه محيطيه تحصر نفس القوس اللي هو اس في بالتالي النظريه بتنص على انه الزاويتان محيطان تحصلان القوس نفسه اذا هما متطابقتان يبقى القاعده انه الزاويه تي تطابق الزاويه يو لانهم يحصران نفس القوس بالتعويض بكل قيمه مكتوبه على الزوايا هيكون مقياس الزاويه تي يساوي مقياس الزاويه يو يبقى الزاويه تي بتساوي 3 اكس - 5 والزاويه يو بتساوي 2 اكس ئ 15 فهنا هنحلها كمعادل هرتب المعادله الاثنين اكس للطرف التاني هتبقى 3 اكس ناقص ا اكس هتعطى اكس و1 هننقل معاها ناقص 5 اكس بالموجب هتبقى زائد 5 اكس هتدينا 20 يبقى اكس بتساوي 20 جبنا قيمه الاكس يبقى هنا بالتعويض هيكون 3 ضرب 20 اللي هي قيمه الاكس ناقص 5 هيدينا قياس الزاويه تي بيساوي 55 تمرين موجه رقم انين اذا كانت مقياس الزاويه اس بيساوي 3 اكس وقياس الزاويه في بيساوي اككس ئ 16 فجد قيمه مقياس الزاويه اس هنا الزاويه اس هي زاويه محيطيه بضم القوس تي يو والزاويه في زاويه محيطيه بضم القوس نفسه اللي هو تي يو بالتالي الزاويتان متطابقتان ف هنكتب القاعده انه الزاويه اس تطابق الزاويه في بما انهم يحصران نفس القوس اللي هو تي يو حسب النظريه زاويتان تحصلان نفس القوس يبقى مقياس الزاويه اس بيساوي مقياس الزاويه في بالتعويض هيكون عندي 3 اكس قياس الزاويه اس بيساوي اكس ئ 16 اللي هو قياس الزاويه في هنقل اكس للطرف التاني مع 3ه اكس هيكون ناقص اكس يبقى 3 اكس ناقص اكس هيدينا اين اكس بيساوي 16 نقسم الطرفين تقسيم اين هيكون الاكس بتساوي 8 نقدر دلوقتي نعوض مكان الاكس الموجوده في زاويه الاس علشان نوجد قيمتها فهيكون بالتعويض مقياس الزاويه اس بيساوي 3 ضرب 8 بتساوي 4 درجه قياس الزاويه اس اللي هي زاويه محيطيه مثال رقم 3ه استخدام الزوايا المحيطيه في البراهين اكتب برهانا من عمودين المعطيات القوس جي ام يطابق القوس كي ال القوس جي ام يطابق القوس كي ال المطلوب اثباته انه المثلث جي ام ان جي ام ان اللي هو داخل الدائره يطابق المثلث كي ال ان البرهان هيكون العبارات والمبررات اول حاجه بنكتبها هي المعطى المعطى عندي انه القوس جي ام يطابق القوس كي ال دي هتكون المعطيات الخطوه اللي بعد كده علشان نسبه تطابق مثلثين احنا هنب حث عن زوايا متطابقه في كل مثلث واضلاع متطابقه في كل مثلث علشان نقدر نسبه المثلثات حسب نظريات تطابق المثلثات اللي احنا درسناها قبل كده يبقى اول اثبات هيكون انه الوتر جي ام يطابق الوتر كي ال بما انه الاقواس متطابقه اذا الاوتار متطابقه زي ما درسنا في الدرس السابق يبقى هنا الوتر جي ام يطابق الوتر كي ال بما انه الاقواس متطابقه يبقى دي هتكون اول اضلاع اثبتنا بالنسبه لتطابق المثلثين يبقى اذا كان قوسان اصغر متطابق قان في الدائره فان وتريهم المتناظرين متطابقين اللي هما القوسين جي ام وكي ال ف الوترين اللي هو جي ام وكي ال هيكونوا متطابقين يبقى ده هيكون اول ضلع بالنسبه لاثبات تطابق المثلث بعد كده هنستخدم الزوايا المحيطيه هنقول انه الزاويه ام تحصر القوس جي كي يبقى هنا الزاويه ام تحصل القوس جي كي عندي الزاويه ال تحصر نفس القوس اللي هو جي كي يبقى هنا زاويه ام زاويه محيطيه تحصر القوس تحصر القوس ج والزاويه ال كمان زاويه محيطيه تحصر نفس القوس اللي هو ج بالتالي الزاويه ام تطابق الزاويه ال حسب النظريه نظريه الزوايا المحيطيه التي تحصر القوس نفسه يبقى هنا تعريف القوس المحصور للزاويه المحيطيه بالتالي هنقول ان الزاويه ام تطابق الزاويه ال الزاويتان المحطتان المقابلتين للقوس نفسه متطابقتان حسب النظريه بعد كده هنقول انه الزاويه جي ان ام جي ان ام اللي هي هتكون الزاويه المتقابله بالراس من المثلث الاول والمثلث الثاني هيكون الزاويه كي ان ال يبقى الزاويه الاخرى في المثلث الاخر هي زوايا متقابله بالراس اذا هي متطابقه يبقى هنا هنقول انه الزاويتان متقابلتان بالراس طبقتان يبقى كده اثبتنا زاويتين واثبتنا ضلع في المثلث بالتالي نقدر نقول ان المثلث جي ام ان يطابق المثلث كي ال ان احنا اثبتنا في البدايه اثبتنا ان الوتر يطابق الوتر بعد كده اثبتنا ان الزاويه المحيطيه ام تطابق الزاويه ال بعد كده اثبتنا ان الزاويه ان متطابقه مع الزاويه ان في المثلث الاخر لانهم زاويتان متقابلتان بالراس يبقى اثبتنا تطابق المثلثين حسب نظريه تطابق المثلثات زاويه زاويه ضلع نظريه تطابق المثلثات تمرين موجه رقم لاه مطلوب كتابه برهان من عمودين المعطى هو القوس كيو ار يطابق القوس اس تي في الدائره هنلاقي انه القوس الصغير اللي هو كيو ار يطابق القوس اس تي وكمان عليهم علامات باللون الاحمر كده ان هم متطابقين يبقى ده هيكون اول معطى وزي ما درسنا قبل كده ان طالما في اقواس متطابقه بالتالي يقابلهم انه هيكون في اوتار متطابقه المعطى اللي بعد كده القوس بي كيو يطابق القوس بي تي يبقى هنا القوس بي كيو عليه هنا خطين بالاحمر يطابق القوس بي تي يبقى عندي كمان هيكون في الاوتار المقابله ليهم هتكون متطابقه كمان عندي زوايا محيطيه بتفتح على كل قوس من الاقواس بالتالي هيكون في هيكون في اوتار متطابقه وهيكون في زوايا محيطيه متطابقه طبعا الزوايا المحيطيه اللي الموجوده عندي في الدائره اللي هي الرؤوس اللي موجوده على الاطار الخارجي للدائره المطلوب اثباته انه المثلث بي كيو ار اللي هو المثلث الموجود هنا بي كيو ار المثلث الموجود داخل الدائره يطابق المثلث بي تي اس ف هنبدا كتابه البرهان هنكتب العبارات والمبررات وهنبدا بالمعطيات اللي هي الاقواس المتطابقه وهنكتب جنبها كلمه المعطيات في الخطوه التاليه لازم نحول التطابق الى علامه التساوي يبقى دلوقتي هكتب نفس الاقواس اللي هي المتطابقه هحول علامه هحول علامه التطابق الى علامه التساوي يبقى ما نقدرش نتعامل مع علامه التطابق في البرهان وهي مكتوبه بالشكل ده لازم نحولها الى علامه التساوي وبعد كده هنبدا نستخدمها في الاثبات يبقى الاثبات هنا هنستخدم فيه انه المثلثات المتطابقه هتحتاج ان احنا نبحث عن النظريات اللي احنا درسناه قبل كده في اثبات تطابق المثلثات اللي هي هنحاول ان احنا نطابق نشوف زوايا متطابقه ونشوف كمان اضلاع متطابقه في كل مثلث من المثلثين الخطوه الثانيه هتكون تحويل علامه التطابق الى التساوي يبقى كل اللي عملناه احنا بس غيرنا علامه التطابق كتبنا مكانها المساواه في القوس كيو ار والقوس اس تي والقوس بي كيو مع القوس ي تي يبقى هنقول كده في المبررات هنقول تعريف الاقواس المتطابقه يبقى اول خطوه تحويل التطابق الى علامه التساوي بعد كده هنحاول ان احنا نستخدم نظريه الزوايا المحيطيه في الاثبات تطابق الزوايا يبقى الخطوه اللي بعد كده بما انه كل قوس هيكون يقابله زاويه محيطيه بتساوي نص مقياس القوس حسب النظريه فنقدر نقول انه مقياس الزاويه كيو كيو بي ار لما بقول الزاويه كيو بي ار اقصد بيها الحرف اللي في المنتصف اللي هو هيكون سور ما بين الثلاث حروف يبقى دي هتكون موقع راس الزاويه يبقى الزاويه كيو بي ار هتساوي نص مقياس القوس كيو ار نشوفها على الرسم لما اقول كيو بي ار الحرف اللي في المنتصف بيكون راس الزاويه المطلوبه يعني في المكان ده هتكون الزاويه اللي بتقابل القوس كيو ار يبقى هي بتساوي نص قياس القوس يبقى دي اول زاويه على نفس القاعده هنقول انه الزاويه تي بي اس اللي هي الزاويه بي الحرف اللي هو راس الزاويه بيكون في الوسط هيساوي نص مقياس القوس اس تي التي تحصره الزاويه يبقى الزاويه تي بي اس هتكون راسها بي في المكان ده قابل القوس تي اس هو هيكون الزاويه بتساوي نص قياس القوس يبقى دي كتابه القاعده اللي هي قاعده الزوايا المحيطيه وعلاقتها مع القوس التي تحصره يبقى كده اثبتنا علاقه ما بين الزاويه في المثلث الاول والزاويه في المثلث الثاني هنشوف كمان زاويتين نقدر ان احنا نستخدم فيهم تطابق الاقواس يبقى عندي بعد كده القوس بي كيو هيكون كمان مقابل الزاويه ار وهيكون القوس بي تي مقابل الزاويه اس يبقى برض هنكتب نفس القاعده على القوسين اللي بعد كده يبقى عندي الزاويه كيو ار بي الزاويه كيو ار بي الحرف اللي في المنتصف هو راس الزاويه اللي هو الزاويه ار يبقى ده المكان اللي احنا نقصده اللي هي بتحصر القوس بي كيو يبقى معناها ان هي بتساوي نصه وده اللي احنا كتبناه في البرهان وقياس الزاويه كيو ار بي بتساوي نص مقياس القوس التي تحصره اللي هو بي كيو كمان الزاويه في المثلث الثاني هتكون تي اس بي الزاويه تي اس بي يبقى بنقص بيها راس الزاويه اللي هو اس هيكون يقابل القوس ي تي وهيكون الزاويه بتساوي نص قياس القوس يبقى معناها اثبتنا الزاويه اس والزاويه ار في المثلث الاخر بعد كده في المبررات هنكتب نظريه الزوايا المحيطيه يبقى ده مضمون نظريه الزوايا المحيطيه كل زاويه محيطيه تساوي نص قياس القوس يبقى هنقول انه الزاويه كيو بي ار في المثلث الاول كيو بي ار اللي هي الزاويه الموجوده هنا تطابق الزاويه بي في المثلث الثاني وكمان هنا هيكون الزاويه ار والزاويه اس كمان هيكونوا متطابقين يبقى هنقول مقياس الزاويه كيو ار بي اللي هو هيكون ده راس الزاويه في المثلث الاول تطابق الزاويه تي اس بي في المثلث الثاني يبقى كده اثبتنا تطابق زاويه في كل مثلث مع المثلث الاخر بعد ما اثبتنا تساوي الزاويتين هنقول انه بالتعويض هنحول علامه التساوي الى علامه التطابق يبقى لما نوصل الى تساوي الزاويتين بعد كده بنحول علامه التساوي الى علامه التطابق زي ما عملنا في الخطوه الاولى حولنا من التطابق الى التساوي بنفس ما احنا كتبنا بس مجرد تغيير الاشاره هنا كمان هنكتب بالنسبه للزوايا تطابق الزوايا هنحول علامه التساوي الى التطابق يبقى هرجع اكتب نفس الزوايا لكن مع تبديل علامه مساواه الى علامه التطابق يبقى ده هيكون تعريف الزوايا المتطابقه هنستخدم النظريه اذا تطابق قوسين داخل الدائره فان الوتران متطابقان يبقى هنا هنقول انه بما انه في المعطى القوس كيو ار يطابق القوس اس تي بالتالي هيكون الوتر كيو ار يطابق الوتر اس تي يبقى دي حسب النظريه الاقواس المتطابقه لها اوتار متطابقه هنا طبعا احنا استخدمنا القوس كيو ار والقوس اس تي اللي حابب يستخدم تطابق القوس بي كيو مع بي تي ان الاوتار لهم هتكون متطابقه برض هيكون صح بس بيكفي ان احنا نستخدم ضلع واحد بما انه ان بما انه اثبتنا زاويتين يبقى محتاجين كمان ضلع يبقى كده اثبتنا تطابق المثلثين يبقى في الخطوه الاخيره هنكتب المطلوب اثباته اللي هو المثلث بي كيو ار يطابق المثلث بي تي اس حسب ما احنا استخدمنا مسلمه من مسلمات تطابق المثلثات اللي هي مسلمه زاويتين وضلع غير محصور بينهم اللي هي اثبتنا زاويتين واثبتنا كمان الوتر اللي هو ضلع من اضلاع المثلث الجزء الثاني من الدرس زوايا المضلعات المحاطه بدوائر هيكون في اشكال مثلثات او اشكال رباعيه هتكون محاطه بدائره هيكون لها مواصفات خاصه زي الشكل الموجود معانا هيكون شكل مثلث هيكون محاط بدائره المواصفات الخاصه اللي هنحتاجها في الشكل المثلثي اللي بالشكل ده اذا كان ضلع من اضلاع المثلث هو قطر بيمر بمركز الدائره بالتالي هيكون القطر ده هيكون هو ضلع في المثلث وقسم الدائره الى نصفين النصف اللي هو هيكون نصف الدائره اف جي اتش هيكون يمثل قوس يساوي 180 درجه بالتالي حسب القاعده اللي احنا اخدناها قبل كده اذا كان القوس 180 درجه يقابله زاويه محيطيه اللي هي الزاويه ج هتكون الزاويه نص قياس القوس يعني هيكون 90 درجه يبقى بالتالي هنستني انه الزاويه هتكون زاويه قائمه يبقى اذا كان عندي مثلث داخل الدائره يوجد به ضلع يمثل قطر في الدائره بالتالي الزاويه هتكون تقابل نصف دائره اذا هتكون قياسها 90 درجه وهي زاويه قائمه مضمون النظريه انه تحصر زاويه محيطيه في مثلث قطرا او نصف دائره اذا وفقط اذا كانت الزو زاويه قائمه يبقى بالتالي اذا كانت الزاويه المحيطيه هتكون قياسها 90 درجه يبقى القوس التي تحصله هيكون ضعف قياس الزاويه يعني هيكون 180 درجه يعني نصف دائره مثال رقم اربعه ايجاد قياس الزاوايه في المثلثات المحاطه بدائره جد قيمه مقياس الزاويه اف في البدايه هنقول انه المثلث اف جي اتش هيكون هو مثلث قائم السبب ان هو مثلث قائم ان هيكون عندي الزاويه هي زاويه محيطيه هيكون يقابلها القوس اف اتش اللي هو عباره عن نصف دائره لانه في عندي القطر اف اتش بيقسم الدائره الى نصفين فهنا نصف الدائره هيكون قياسه 180 بالتالي الزاويه هتكون قياسها 90 درجه يعني زاويه قائمه اذا المثلث هنا هيكون مثلث قائم هيكون مجموع زوايا اي مثلث بتساوي 180 درجه علشان نوجد قياس الزاويه اف هنجمع مجموع الثلاث زوايا داخل المثلث الزاويه اف زائد ال الزاويه زائد الاتش هيساوي 180 بعد كده بالتعويض بال المعطى لكل زاويه هيكون عندي الزاويه اف 4 اكس + 2 الزاويه اللي هي زاويه قائمه هتكون قياسها 90 درجه الزاويه ا بالتعويض هتكون 9 اكس - 3 = 180 مجموع زوايا اي مثلث بعد كده هنعمل تبسيط عندي 4 اكس + 9 اكس هيدينا 13 2 + 90 - 3 يدينا 89 = 100 هطرح ناقص 89 من كل طرف هيدينا 13 اكس هيكون 180 ناص 89 هيدينا 91 هنقسم الطرفين تقسيم 13 هيكون الاكس بتساوي 7 بعد ما جبنا قيمه الاكس نقدر نعوضها في في قيمه الزاويه اف ونوجد قياس الزاويه يبقى هنا بالتعويض مقياس الزاويه اف هيساوي 4 ضرب الاكس اللي هي قيمتها 7 زائد 2 هيدينا 30 درجه قياس الزاويه اف تمرين موجه رقم 4 ازاي كانت مقياس الزاويه اف 7 اكس زائد 2 والزاويه اش 17 اكس ناقص 8 فجيت قيمه اكس فقط هنجد قيمه اكس وليس الزاويه فهنا عندي الزاويه ج زي ما احنا قلنا هي هتكون 90 درجه وهنجوع مجموع زوايا المثلث بالكامل بتساوي 180 وبعد كده هنعوض بقيمه الاف وقيمه الاتش يبقى هنا مجموع زوايا المثلث 180 بالتعويض بقيمه كل زاويه فهيكون مقياس الزاويه اف 7 اكس زئ 2 الزاويه ج اللي هي زاويه قائمه والزاويه اش اللي هي 17 نا 8 بتساوي 180 هنجمع المتشابه عندي 7 اكس زئ 17 اكس وعندي 2 90 نا 8 هيكون 24 اكس ئ 84 هطرح ناص 84 من كل طرف هيكون متبقي 24 اكس بتساوي 180 نا 84 هتدينا 96 نقسم الطرفين تقسيم 24 هيعطيني اكس بتساوي 4 النظريه اللي بعد كده فنقول مضمون النظريه اذا احيط متوازي اضلاع بدائره فان كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان يعني ايه متكاملتان يعني قياسهم 180 درجه يعني معناها ان هيكون الزاويه ال مع الزاويه المقابله ليها هيكون الزاويه ان بيساوي مجموعهم 180 والزاويه ك والزاويه المقابله ليها ام هيكون قياسهم 180 يبقى اذا احيط الشكل الرباعي بالدائره اي يعني الدائره في الخارج فان الزاويه ال والزاويه ان زاويتان متكاملتان قياسهم 180 والزاويه ام والزاويه ك زاويتان متكاملتان يعني قياسهم 180 مثال رقم خم من الحال اليوميه ايجاد قياس الزوايا المجوهرات تستخدم القلاده الموضحه شكل رباعي محاطا بدائره جد مقياس الزاويه وقياس الزاويه فهنا هيكون الشكل الموجود داخل الدائره له اربع زوايه هي زوايا محيطيه بتقع على محيط الدائره بالتالي كل زاويتان متقابلتان هيكونوا متكاملتان يعني مجموعهم 180 يبقى لو كانت قياس الزاويه متكامل مع قياس الزاويه اللي هي عليها علامه 90 درجه يبقى هنقول انه قياس الزاويه زائد قياس الزاويه سي متكاملتان يعني هيكون قياسهم 180 يبقى بالتعويض مقياس الزاويه زائد 90 اللي هو قياس الزاويه عليه علامه ال 90 درجه عوضنا بيها هنطر ناقص 90 من كل طرف يبقى معناها الزاويه هتساوي 90 درجه يبقى قياس الزاويه بتساوي 90 درجه بعد كده نوجد قياس الزاويه عندي الزاويه بتساوي 2 اكس نا 30 والزاويه المتكامله معاها اللي هي المقابله ليها بتساوي اكس درجه يبقى هنكتب القاعده هيكون مقياس الزاويه ب زائد الزاويه المقابله ليها دي سساوي 180 لانهم متكاملتان لانه الشكل الرباعي محاط بدائره بالتعويض هيكون الزاويه ب 2 اكس - 30 + اكس سا 180 يبقى عندي 2 اكس ئ اكس هيدينا 3 اكس نا 30 = 180 هنجمع ئ 30 لكل طرف يبقى 3 اكس بتساوي 180 + 30 210 ننقسم الطرفين تقسيم 3 هي عطينا الاكس الاكس بتساوي 70 نقدر نعوض قيمه الاكس ونوجد مقياس الزاويه ب يبقى بالتعويض هيكون مقياس الزاويه بيساوي 2 ض 70 اللي هي قيمه الاكس هيدينا 140 نا 30 ساوي 110 يبقى قياس الزاويه هيكون بيساوي 110 تمرين مواجه رقم خم الشكل الرباعي دبليو اكس واي زد محاط بالدائره في جد مقياس الزاويه اكس ومقياس الزاويه واي هنبدا بايجاد قياس الزاويه واي يبقى هيكون الزاويه المقابله للزاويه واي هي الزاويه دبليو قياسها 595 درجه يبقى هنكتب القاعده قاعده الزوايا المتقابله المتكامله مقياس الزاويه دبليو زائد مقياس الزاويه المقابله ليها واي بيساوي 180 درجه لانهم متكاملتين بالتعويض هيكون 95 قياس الزاويه دبليو زئ واي سساوي 180 هطرح ناقص 95 من كل ط هيكون مقياس الزاويه واي 180 نا 95 سساوي 85 درجه فهنا هكتب القاعده مقياس الزاويه زد زائد مقياس الزاويه اكس بيساوي 180 درجه هنعوض مكان زد 60 درجه زائد مقياس الاكس بتساوي 180 هطرح ناقص 60 من كل طرف يبقى مقياس الزاويه اكس بتساوي 120 درجه من تمارين التحقق من فهمك جيت قياس كل مما يلي سؤال رقم واحد مقياس الزاويه الزاويه ب هي زاويه محيطيه تحصر القوس قياسه 60 درجه بالتالي هيكون القاعده انه الزاويه المحيطيه بتساوي نص قياس القوس يبقى نكتب القاعده الزاويه ب بتساوي نص قياس القوس اي س يبقى بالتعويض نص ضرب 60 هيدينا 30 درجه يبقى ده هيكون قياس الزاويه المحيطيه الزاويه ب السؤال رقم اين مقياس القوس ار تي عندي الزاويه اس هتكون 63 درجه بتحصر القوس المطلوب اللي هو ار تي بالتالي هيكون القوس هو ضعف قياس الزاويه يبقى هنكتب القاعده ان مقياس القوس ار تي بيساوي 2 ضرب مقياس الزاويه اس او ضعف قياس الزاويه اس يبقى بالتعويض 2 ض 63 درجه هعطي مقياس القوس ار تي بيساوي 126 درجه سؤال رقم لاه قياس دبليو اكس القوس دبليو اكس هيكون خارج الزاويه المحيطيه الزاويه المحيطيه هنا اللي هي الزاويه اكس 77 درجه بتحصر القوس دبليو واي فبالتالي احنا المطلوب عندي القوس دبليو اكس وليس القوس المقابل للزاويه المحيطيه يبقى هنا بما انه الدائره مقسومه الى نصفين يبقى هيكون النصف ده بالكامل 180 درجه والنصف ده كامل 180 درجه هنوجدها وبعد كده كده هنطر 180 ناقص القوس هيعطيني المتبقي اللي هو القوس اللي هو خارج الزاويه يبقى هنا في البدايه هنقول انه دبليو اكس زائد مقياس دبليو واي هيكون بيساوي 180 يعني نصف دائره هنخلي المعادله وبعد كده نرجع لها نعوض فيها مره تانيه هنقول انه مقياس دبليو واي اللي هو القوس التي تحصره الزاويه المحيطيه اكس هيساوي 2 ضرب مقياس الزاويه اكس يبقى بالتعويض 2 ض 57 هيدينا قياس القوس 114 درجه هرجع تاني للمعادله اللي كتبتها في البدايه اللي هي مجموع القوس الاول والقوس الثاني بيساوي نصف دائره يعني 180 درجه يبقى 180 نا 114 هيعطيني مقياس دبليو اكس بيساوي 66 درجه يبقى لو جمعنا 66 اللي هو القوس المطلوب زائد 114 اللي هو قوس الزاويه المحيطيه هيعطيني 100 0 درجه اللي هي نصف دائره سؤال رقم عه العلوم يوضح الرسم التخطيطي كيف ينحرف الضوء داخل قطره مطر لتشكيل الوان قوس كزح واذا كانت مقياس القوس اس تي بيساوي 144 فما قياس الزاويه ار فهنا الزاويه ار هي زاويه محيطيه القوس هنا معلوم اللي هو القوس اس تي يبقى القاعده هنقول ان مقياس الزاويه ار هيكون بيساوي نص قياس القوس المقابل لها اللي هو القوس اس تي يبقى بال التعويض هيكون نص ض 144 هيساوي 72 درجه ده هيكون قياس الزاويه المحيطيه الزاويه ار جيت كل من القياسات سؤال رقم خمسه مقياس الزاويه اتش الزاويه اتش هنا هي زاويه محيطيه هتكون بتحصر القوس ي كي كمان في في الدائره الزاويه ي بتحصر نفس القوس معناها ان هي متطابقه معاها فاذا كانوا الزاويتين محطيت تحصلان القوس نفسه اذا هتكون الزاويتان متطابقتان يبقى هنقول انه الزاويه اش تساوي الزاويه ج زاويتان محيطان تحصلان القوس نفسه يبقى بالتعويض مكان الاتش هيكون اكس ومكان زاويه الجي 2 اكس ناقص 54 هننقل اين اكس للطرف التاني مع الاكس بالطرح هيبقى اكس ناقص ا اكس هيدينا سالب اكس بتساوي سالب 54 هنقسم الطرفين تقسيم سالب واح هيدينا الاكس بيساوي 54 يبقى مقياس الزاويه بما انه بيساوي اكس درجه يبقى هيكون بيساوي 54 درجه سؤال رقم 6 مقياس الزاويه الزاويه هي زاويه محيطيه راسها بيقع على محيط الدائره بتحصر القوس اي بي والزاويه متطابقه مع الزاويه لانهم بيحصلوا نفس القوس بالتالي نقدر نقول انه الزاويه تطابق الزاويه ونساوي القيمه قيمه الزاويه مع قيمه الزاويه يبقى القاعده انه الزاويه تساوي الزاويه سي وبالتعويض الزاويه اكس + 24 والزاويه سي بتساوي 3 اكس هننقل الاكس للطرف الثاني مع 3 اكس هتبقى ناقص اكس يبقى 24 بتساوي 3 اكس - اكس يبقى هيكون 24 بتساوي 2 اكس هنقسم الطرفين تقسيم اين هتكون الاكس بتساوي 12 جبنا قيمه الاكس نقدر نعوض في الزاويه في ونوجد قياس الزاويه يعني هي يعني هيكون مكان الاكس 12 ئ 24 هتعطش درجه سؤال رقم سبعه البرهان اكتب برهانا مكونا من عمودين المعطيات ار تي ينصف اس يو يبقى هنا الار تي ينصف اس يو يعني نقطه المنتصف هتكون النقطه في المطلوب اثباته المثلث ار في اس ار في اس يطابق المثل ثث يوو في تي اللي هما مثلثين داخل الدائره تاني هنكتب برهان مكون من عمودين بنظريات تطابق المثلثات يبقى في البدايه العبارات والمبررات اول حاجه هنكتب هو المعطى انه هيكون ار تي ينصف اس يو يبقى ده هيكون معطى الوتران ينصف كل منهما الاخر بالتالي حسب حسب تعريف نقطه المنتصف اللي هي النقطه في هنقدر نقول انه اس في يطابق في يو يعني هنا هيكون منصف معناه ان هم متطابقين فده هنكتبه في البرهان يبقى ده ضلع من المثلث اللي هو اس في يطابق ضلع في المثلث الاخر اللي هو في يو كمان هيكون الار في في المثلث يطابق في تي في المثلث الاخر يبقى من النظريات اللي احنا هنستخدمها في الاثبات تطابق ضلعين في المثلث مع المثلث الاخر يبقى هنقول تعريف نقطه المنتصف بعد كده هنستخدم الزوايا المحيط هنستخدم الزاويه ار الزاويه ار بتحصر القوس اس تي والزاويه يو زاويه محيطيه تحصر نفس القوس اللي هو اس تي حسب نظريه الزوايا المحيطيه التي تحصر نفس القوس ان هي متطابقه هنكتب الكلام ده ونثبته يبقى هيكون الزاويه ار تطابق الزاويه يو هيكون زاويتان محيطان تحصر نفس القوس اللي هو القوس اس تي فهما متطابقتان كمان عندي الزاويه اس هي زاويه محيطيه تحصل القوس ار يو والزاويه تي زاويه محيطيه تحصر القوس نفسه اللي هو ار يو هيكونوا زاويتان محيطان تحصلان القوس نفسه هيكونوا متطابقتان يبقى كده اثبتنا ضلع وزاويتين بالتالي هيكون وصلنا للاثبات انه المثلث ار في اس يطابق المثلث يو في تي حسب مثلمه زاويه زاويه ضلع اثبتنا تطابق المثلثين جد كل قيمه سؤال رقم مانيه مقياس الزاويه ار الدائره موجود فيها الزاويه كيو هي زاويه محيطيه يقابلها القوس بي ار اللي هو يمثل نصف دائره يعني 180 درجه وده اثبات ان الزاويه كيو هتكون زاويه قائمه بالاعتماد على ان الزاويه كيو هي زاويه قائمه فهن استخدم مجموع الزوايه المثلث بيساوي 180 فهن كتب انه الزاويه ار زائد الزاويه ب زائد 90 درجه اللي هي الزاويه كيو بتساوي 180 درجه هنعوض بالزاويه ار 7 اكس ناص 1 زاويه بي 3 اكس ئ 1 و90 درجه اللي هي الزاويه كيو بعد كده هنجمع المتشابه عندي 7 اكس و 3 اكس هيكون 10 اكس و90 + 1 ونا 1 هيكون 90 ساوي 180 هنطر نا 90 من كل طرف فيكون عندي 10 اكس بتساوي 180 - 90 هيدينا 90 يبقى هنا بالتقسيم على 10 من الطرفين هيكون اكس بيساوي 9 هنوجدها ب 9 - 1 بالتعويض هعطي مقياس الزاويه ار بيساوي 62 درجه سؤال رقم تسعه مطلوب ايجاد قيمه اكس القطر ال ان ينصف الدائره هيكون عندي نصف الدائره اللي هو على اليمين موجود فيه ضلعين متطابقين درسنا قبل كده انه الضلعين المتطابقين يقابلهم زوايا متطابقه نصف الدائره 180 فالزائر نص قياس قوس بالتالي هيكون الزاويتين المتطابقتان في المثلث هيكون 45 45 يعني 2 اكس نا 5 هتكون بتساوي 45 يبقى مقياس الزاويه ان بيساوي 45 يبقى اعتمدت في معرفه قياس الزاويه ان على انه المثلث المرسوم داخل الدائره هو مثلث متساوي الساقين ما يكون موجود فيه زاويتين متطابقتين مجموعهم بيكون 90 يعني 45 45 يبقى بالتعويض هيكون اين اكس ناقص 5 ساوي 45 هنجمع زائد خ لكل طرف هيكون اين اكس سيساوي 45 ا 5 50 نقسم انين من كل طرف هيدينا قيمه الاكس بتساوي 25 سؤال رقم 10 مقياس الزاويه سي ومقياس الزاويه دي الشكل الرباعي محاط بدائره هنستخدم القاعده كل زاويتان متقابلتان متكاملتان يعني مجموعهم 180 علشان نوجد الزاويه يبقى معناها الزاويه مع الزاويه المقابله ليها هيكون هيكونوا متكاملتان مجموعهم 180 يبقى القاعده مقياس الزاويه زائد مقياس الزاويه اي بيساوي 180 درجه يبقى بالتعويض الزاويه سي 2 اكس والزاويه اي 58 درجه بيساوي 180 هنطر - 58 من كل طرف يبقى هيكون متبقي اين اكس بيساوي 180 نا 58 122 هقسم الطرفين تقسيم 2 هيكون الاكس بتساوي 11 هنعوض في 2 اكس اللي هي الزاويه سي مكان الاكس 11 هيبقى 2 ض 11 22 درجه قياس الزاويه سي بعد كده هنوجدها هتكون متكامله مع الزاويه المقابله ليها اللي هي الزاويه ب ف هنكتب القاعده بما انه الزاويه ب زائد الزاويه الزاويه دي زاويتان كاملتان لانهم داخل لانهم متقابلتان في شكل رباعي محاط بدائره هيكونوا متكاملتان يعني 180 بالتعويض هيكون الزاويه ب 3 واي + 4 والزاويه دي 2 واي + 16 هنجمع المتشابه عندي 3 واي و 2 واي 5 واي و4 + 16 20 هنطر - 20 من كل طرف يعني هيكون 5 واي بساوي 180 - 20 160 قسم الطرفين تقسيم 5 هيكون الواي بيساوي 32 هنروح نعوض في قيمه الزاويه دي اللي هو 2 واي + 16 يبقى 2 ض 32 + 16 هيدينا قياس الزاويه دي بيساوي 80 درجه جد قياس كل مما يلي سؤال رقم 11 مقياس القوس مقياس القوس دي اتش القوس دي اتش هيكون قوس محسور للزاويه المحيطيه اف اللي هي هي قياسها 81 درجه فهن كتب القاعده القوس هيكون بيساوي ضعف قياس الزاويه ضعف قياس الزاويه المحيطيه يبقى 2 ض 81 هيعطيني قياس القوس دي ا بيساوي 162 درجه سؤال 12 مقياس الزاويه ك الزاويه ك زاويه محيطيه تحسر القوس جي ال اللي هو قياسه 92 درجه يبقى القاعده انه مقياس الزاويه المحيط بيساوي نصف قياس القوس يبقى بالتعويض 12ص ضرب 92 هيدينا قياس الزاويه ك بيساوي 46 درجه سؤال 13 مقياس الزاويه الزاويه هي زاويه محيطيه تحصل القوس ان كيو ولكن القوس ان كيو مش موجود موجود باقي اقواس الدائره فهنا هنستعبط مجموع الاقواس اللي هو 100 + 120 هيعطيني القوس ان كيو اللي هو هيكون 140 طالما عرفنا القوس اللي هو ان كيو نقدر نجيب الزاويه ب بقاعده الزاويه المحيطيه اللي هي بتحصر القوس ان كيو يبقى بالتعويض مقياس الزاويه ب هيساوي نص ضرب 140 اللي هو قياس ان كيو هيكون قياس الزاويه بيساوي 70 درجه سؤال رقم 14 مقياس القوس اي س القوس اي س محصور للزاويه المحيطيه اللي هي قياسها 24 يبقى القاعده انه مقياس القوس اي س بيساوي 2 ضرب الزاويه المحيطيه يبقى 2 ض 24 = 8 درجه ده هيكون قياس القوس اي س سؤال رقم 15 مقياس القوس جي اش القوس جي ات هو خارج الزاويه المحيطيه ولكن هنلاحظ انه في قطر اللي هو جي جا ده هيكون يمثل نصف دائره يعني هيكون الجزء اللي موجود هنا هيكون 180 يعني القوس جي جا هيكون 180 ومن اعلى القوس جي اش جا هيكون كمان 180 يبقى هنقول مقياس القوس جي اتش اللي هو المطلوب ايجاده اللي هو خارج الزاويه المحيطيه بيساوي 180 اللي هو نصف الدائره العلوي ناقص مقياس القوس ات ج فنجيب مقياس القوس ا جي بالاستعانه بالزاويه المحيطيه يبقى هنقول جي هيكون بيساوي 2 ضرب 20 درجه اللي هو ضعف قياس الزاويه هيكون بيساوي 40 درجه فهنا هنستخدم القاعده اللي كتبناها اول حاجه اللي هي 180 - 40 هيساوي 140 درجه ده هيكون مقياس القوس جي اتش سؤال رقم 16 مقياس الزاويه اس هنا الزاويه اس هي زاويه محيطيه هيكون الز الزاويه المحيطيه بتحصل القوس ار تي وعندي موجود القوس اللي في الجزء الصغير ده اللي هو 48 درجه والدائره عندي الزاويه المحيطيه من النوع اللي فيها ضلع هيكون عباره عن قطر في الدائره بيقسم الدائره الى نصفين يعني الوس اللي هو على اليسار 180 والقوس الاخر هيكون على اليمين 180 يبقى هنستعبط اللي هي نصف الدائره هيكون نصف الدائره 180 - 48 اللي هو قوس اس تي هيساوي 132 درجه ده هيكون القوس ار تي اللي هو قوس الزاويه اس اللي هي الزاويه المحيطيه هيساوي 132 درجه نقدر نستخدمه في القاعده اللي هي اللي هي مقياس الزاويه اس هيساوي نص قياس القوس ار تي يبقى بالتعويض 12ص ض 132 هيعطيك قياس الزاويه اس 66 درجه يبقى هنا نصف الدائره 180 طرحنا منها 48 هي عطينا 132 اللي هو قياس ار تي طالما عرفنا القوس ار تي 142 نقدر نقسمه على اين هيعطيني قياس الزاويه المحيطيه اللي هي الزاويه اس قياسها 66 درجه سؤال رقم 17 مقياس الزاويه ار الزاويه ار هنا هي زاويه محيطيه تحصل القوس اس تي والزاويه كيو زاويه محيطيه تحصر نفس القوس اللي هو اس تي بالتالي هيكون كون الزاويتان متطابقتان الزاويه ار مع الزاويه كيو لانهم يحصران القوس نفسه فهنا الزاويه كيو معلوم قياسها 32 درجه بالتالي هيكون الزاويه ار كمان هتكون 32 درجه سؤال رقم 18 مقياس الزاويه اس الزاويه اس زاويه محيطيه تحصل القوس ار كيو والزاويه تي كمان زاويه محيطيه متطابقه معاها لانها تحصر نفس القوس ار كيو فنعتمد على القاعده اللي هي بتقول انه الزاويه اس تساوي الزاويه تي زاويتان محيطان يحصران القوس نفسه يبقى بالتعويض مكان الزاويه اس 5 اكس ئ 4 ومكان الزاويه تي 6 اكس نا 2 هننقل الاكس مع الاكس والعدد مع العدد يبقى هيكون 6 اكس نا 5 اككس و 4 + 2 نقلنا كل حد وغيرنا الاشاره يبقى 6 اكس نا 5 اكس هيدينا اكس 4 + 2 = 6 يبقى كده ده جبنا قيمه الاكس نقدر نعوضها مكان 5 اككس + 4 ونوجد قياس الزاويه اس يبقى بالتعويض 5 ضرب 6 هيدينا 30 + 4 هيدينا 34 درجه قياس الزاويه اس سؤال رقم 19 مقياس الزاويه مقياس الزاويه 5 اكس مطلوب ايجاد قياس الزاويه هنا الزاويه زاويه محيطيه تحصل القوس دي والزاويه ب زاويه محيطيه تحصر نفس القوس اللي هو سي دي بالتالي هما متطابقان هستخدم القاعده قاعده التطابق ما بين الزوايا المحيطيه التي تحصر القوس نفسه علشان اوجد قياس الزاويه يبقى هنا سؤال 19 الزاويه تساوي الزاويه ب بعد كده التعويض وبالتعويض هيكون الزاويه اي 5 اكس والزاويه ب 7 اكس نا 8 نقلنا الانيه للطرف التاني هتكون بالموجب بتساوي 7 اكس ناقص خ اكس نقلنا 5 اكس بالسالب للطرف التاني يعني 8 هتساوي اين اكس هنقسم الطرفين تقسيم اين هيعطيني الاكس بتساوي 4 هنعوض في الزاويه اي اللي هي بتساوي 5 اكس هيعطيني 5 ضرب 4 هيساوي 20 درجه يبقى هيكون قياس الزاويه اي 20 درجه مطلوب في سؤال رقم 20 مقياس الزاويه سي الزاويه سي زاويه محيطيه تحصر القوس اي بي هتكون متطابقه مع زاويه دي لانها تحصر نفس القوس اللي هو القوس اي بي يبقى هنقول الزاويه سي تساوي الزاويه دي وبالتعويض هيكون الزاويه سي 5 واي - 3 والزاويه دي 4 واي + 7 هنجمع الحدود المتشابهه الواي مع الواي والعدد مع العدد يبقى 5 واي نا 4 واي نقلناها وغيرنا الاشاره وعندي سالب 3 هننقل للطرف التاني بالجمع هتبقى 7 + 3 يبقى 5 - 4 دينا واي 7 3 10 جبنا قيمه الواي هنروح نعوض في الزاويه س يبقى 5 ضرب 10 ناص 3 يعطينا قياس الزاويه سي بيساوي 47 درجه