الرياضيات مقدمة قصيرة جدا Mathematics

الرياضيات موضوع مجرد من منظورين انها تستخلص السمات المهمه من مشكله ما وانها تتعامل مع كائنات غير ماديه وغير ملموسه ملخص كتاب الرياضيات مقدمه قصيره جدا تاليف بصوت يحيى محمود يكره معظم الناس ماده الرياضيات ويهبونها ففي مخيلتهم صوره نمطيه عن صعوبه الرياضيات وجنون علمائها فهم في نظر الناس عباقره وفوضوي ونجد معظم الطلاب الذين والتعامل مع وظائفها المتنوعه دون فهم جيد لها تحتاج الرياضيات الى خيال خصب وتناول موضوعاتها من منظور مختلف عن المواد الدراسيه الممله فالرياضيات وسيله جميع العلماء لمحاكاه مسائل العالم الحقيقي ودراستها على الاوراق هنا ستتعرف على مفاهيم رياضيه تظن انك تعرف بعضا منها ولكنك ستنظر اليها من منظور مختلف ثم ستتحقق من صحه الافتراضات الشائعه التي يعتقدها الناس في الرياضيات وعلم ائها انها الفرصه للبدء في رحله ممتعه مع الرياضيات لا تشبه تجاربك السابقه معها فهيا بنا الفصل الاول الرياضيات اداه رئيسه لنمزجه مسائل العالم الحقيقي هل فكرت يوما ما في الطريقه المثلى لرمي الحجر لابعد مسافه ممكنه فاذا رفعت يدك كثيرا عند رمي الحجر سيرتفع الحجر ولكنه لم يصل الى مسافه بعيده واذا اخفضت يدك قبل الرمي سيقع الحجر بالقرب منك اذا يجب معرفه زاويه الرمي المناسبه للوصول بالحجر الى ابعد مسافه تقدم الرياضيات الاجابه المناسبه انها الزاويه خمس واربعون ولكن كيف عرفنا الجواب باستخدام الرياضيات لقد استخدمنا الرياضيات لمحاكاه هذه المساله وحددنا زاويه الرمي المناسبه تعرف هذه المحاكاه بالنمذجه الرياضيه وهي رؤيه تخيليه مبسطه لجزء من الواقع بغرض دراسه سلوكه واستكشافه وهذا النموذج الرياضي لمساله رمي الحجر مبسط فهو لا يتضمن عوامل مؤثره على التجربه كقوه الجاذبيه ومقاومه الهواء ودوران الارض والتاثير البسيط لجاذبيه القمر كثيرا وغيرها من العوامل لمعرفه الرقم الذي سيظهر عند رمي النرد يمكننا وضع نموذجا رياضيا مبسط لمعرفه احتمال ظهور رقم ما عند الرمي فاحتمال ظهور اي رقم من الارقام السته واحد اثنان ثلاثه اربعه فكل ما يلزمنا لبناء نموذجا رياضيا لحساب النمو السكاني لرقعه جغرافيه ما هو معرفه عدد الوفيات وعدد الولادات ويمكن زياده دقه النموذج بتعقيد النموذج واضافه عوامل اخرى ولكن يفضل استخدام السمات الاساسيه للظاهره دون الغوص في التفاصيل ثم تعقيد النموذج حسب الحاجه تمكننا نمزجه الرياضيه بالاضافه الى دراسه الظواهر عن كثب من نقلها الى الحاسوب باستخدام لغه البرمجه اذ ان التطبيقات الحاسوبيه تكتب هذه النماذج الرياضيه بالتعليمات البرمجيه الفصل الثاني في تقليل صعوبه فهم الرياضيات ظهر جدل فلس فهذا يعني وجود اعداد اخرى هي مربع لنفسها فتح هذا الجدال بابا واسعا للفلاسفه في التفكير في المسلمات الرياضيه التي نتعامل معها بطريقه بديهيه كالعدد الطبيعيه وهي الاعداد الصحيحه التي لا تحتوي على كسور عشريه والاعداد الحقيقيه وهي الاعداد التي لا تحتوي على كسور عشريه والاعداد الموجبه والسالبه وغيرها من المسلمات الرياضيه لقد انغمس الفلاسفه في هذه المسلمات وحاولوا التعمق فيها وفهم معانيها ولم يتناولها بشكل مجسد بالتجديد ودوره فقط دون التعمق في معناه ومع ذلك يجب استخدام التجريد في الرياضيات بطريقه مقبوله دون افراد حتى لا تزداد الصعوبه في فهم الرياضيات قائد التجريب على الفهم الافضل للظواهر الطبيعيه عند منذجتها اذ اننا نجد فيها الكثير من التفاصيل التي تجعل دراستها امرا شاقا ولذلك نلجا الى التجريب ف نستخلصيه ففي نموذج رمي الحجر اخترنا زاويه الرمي سيمه اساسيه للنموذج واهملنا باقي السمات كجاذبيه القمر والسرعه الابتدائيه وغيرها من السمات وهذا ما نفعله في الرياضيات حين نتعامل مع المسلمات من هنا ظهرت الحاجه الى الموازنه بين التفكير الكلاسيكي والتجريد لنتمكن من قبول الرياضيات واستخدامها الفصل الثالث حل للعديد من المسائل الرياضيه جرب ان تقسم العدد 22 على العدد سبعه ستجد ان ناتج القسمه هو ثلاثه واعداد عشريه لا نهائيه وهي الاعداد التي تقع على يم ين ولو جربت الاستمرار في عمليه القسمه للحصول على الناتج النهائي فلنصل اليه يكفي ان نقول ان الناتجه 43 جزءا من المئه ولكن اذا ضربنا الناتج السابق بسبعه فهل سنحصل على 22 بالطبع لا سنحصل على 21 و 98 جزءا من المئه لان النتيجه السابقه تقريبيه واذا عملنا على زياده الاعداد بعد الفاصله العشريه للناتج يكون ناتج القسمه 6.428 جزءا من 10,000 وعند ضرب هذا العدد بسبعه سنحصل على الرقم 21.98 جزءا من نلاحظ اننا لن نحصل على الرقم 22 الا اذا وصلنا الى نهايه عمليه القسمه وهو امر غير ممكن ولذلك يوضع مفهوم لا نهايه حلا للعديد من المسائل الرياضيه ويمكننا من انهائها يعتقد الذين لا يتعاملون مع الرياضيات انها تتعامل مع الارقام الدقيقه وحين يدرس المرء في الهندسه يلاحظ ان معظم المسائل التي يواجهها تنتهي باجابه تقريبيه وليست تامه الدقه فمثلا عند حساب الجذر التربيعي للعدد اثنين نكتفي بكتابه الارقام الاولى بعد الفاص له بالعمليه على الاله الحاسبه طويل ويمكننا كتابه النتيجه بتقريب الرقم الثالث بعد الفاصله العشريه فيصبح الناتج واحدا 415 جزءا من الالف ويختلف هامش الخطا في التقريب باختلاف الاعداد اذ انها مش الخطا في الاعداد الكبيره اوسع منه في الاعداد الصغيره فلو طلب منك حساب المسافه التي تقطعها سياره ما بالاميال خلال زمن معين فاي المسافتين ستكون ادق هل في حال حسبت الاميال التي قطعتها السياره في جزء على مئه جزء من الثانيه ام المسافه التي قطعتها خلال جزء على مليون من الثانيه تعد مقارنه الاعداد الكبيره في الرياضيات عاملا شاقا ولذلك فان استخدام اللوغاريتمات يسهل الامر هو العمليه المعاكسه لرفع القوه فاذا كان مكعب العدد عشره ويقصد بمكعب العدد ضربه بنفسه ثلاث مرات هو الف فان لوغاريتم العدد 1,000 هو ثلاثه وبالتالي فان استخدام اللوغاريتمات يحول الارقام الضخمه الى ارقام صغيره يمكن مقارنتها بسهوله ولعل اهم تطبيق للتقريب في الرياضيات هو في علم الحاسب عند حساب التقييد الزمني للخوارزميه والتعقيد الزمني للخوارزميه هو عدد التعليمات التي تنفذها الخوارزميه وفقا للمدخلات المستقبله فاذا كانت تعقيد الزمني لخوارزميه هو لوغاريتم ان تمثل عدد المدخلات فهذا يعني انها ستنفذ ثلاثه تعليمات لمعالجه 1000 مدخل اقتباس بمجرد ان يتعلم المرء التفكير بطريقه مجرده فانه يكون مبتهجا وهي بهجه تشبه الى حد ما بهجته عندما يتمكن فجاه من ركوب الدراجه دون القلق بشان الحفاظ على توازنه الفصل الرابع هندسه الابعاد منظار العلماء في النمذجه توفر الهندسه في الرياضيات مستوى الاحداثيات لتحديد النقاط وتمثيلها بيانيا ولعل اشهر هذه المستويات الاحداثيه المستوى الديكارتي نسبه الى الرياضيين في الفرنسي الابعاد والذي يستخدم لتصور الاجسام في الفراغ ويتالف من ثلاثه محاور متعامده تمثل الطول والعرض والعمق ولتخيل المستوى الاحداثي الثلاثي انظر الى زاويه في غرفتك وستجد ثلاثه محاور متعامده فيها كما يوجد المستوى الاحداثي الرب اعي فيها ولكن ماذا عن المستوى الاحداثي الذي يتالف من 26 بعدا كيف يمكن تخيله من السهل على المرء تخيل المستوى الاحداثي الثنائي وقد يجد البعض صعوبه في تخيل المستوى الاحداثي الثلاثي وتزداد الصعوبه بازدياد ابعاد نظام الاحداثيات الذي يتعامل معه ولكن هذه الانظمه لا تستخدم فقط لتمثيل الاشياء في الفراغ وتصورها كان تمثل صندوقا تراه في الغرفه فتضعه على المح اور فيكفي استخدام نظام الاحداثيات الثلاثي للتصور وانما تستخدم هذه المستويات الاكثر تعقيدا او كما تسمى بالهندسه كبيره الابعاد للنمذجه ونختار عدد الابعاد وفقا لتعقيد المساله التي تقطعها السياره عبر الزمن هي مساله بسيطه نحتاج فيها الى مستوى احداثي ثنائي يتكون من محور للزمن واخر للمس المختلفه وحجم القوه العامله وتكلفه المواد الخام وغيرها من المعلومات وكل واحده من هذه المعلومات تمثل بعدا في نظام الاحداثيات التي سنحتاجه لنتمكن من تحديد ايه حاله كنقطه في هذا الفضاء ومعرفه اذا كان شراء السهم مفيدا ام لا الفصل الخامس كان ليقليدس الدور الاساسي في تاسيس علم الهندسه وضع اقليدس كتاب الاصول عام 300 قبل الميلاد وكان لهذا الكتاب اعظم اثر في الرياضيات عبر العصور وقد اعتمد اقليدس في كتابه الذي اسس فيه لعلم الهندسه بالكامل على خمس مسلمات رياضيه بنى عليها كل موضوعات علم الهندسه في زمانه وقد كان يعرف حينها بالهندسه الاقليديه فاحدى المسلمات تنص على انه يمكن رسم خط مستقيم بالوصل بين اي نقطتين بغض النظر عن احداثياتهما في المستوى الديكارتي ان مجموعه زوايا اي مثلث هو 180 درجه وقد شغلت الهندسه الاقليديه عقول الرياضيين والفلاسفه حتى القرن الثامن عشر حتى انها دفعت عالم الرياضيات بين قمم الجبال الثلاث بروكن في المانيا للتحقق من صحه الهندسه الاقليديه في مجموع زوايا المثلث وقد اختبر العلماء هذه المسلمات الخمس في سياقات مختلفه اكثر تعقيدا كالهندسه الكرويه ووجدوا ان هذه المسلمه لا تعمل كلها في حاله تطبيقها على الكره فتره بارزه من الكتاب ان نظره الشائعه التي تصور عالم الرياضيات في قالب النمطي بانه شخص ربما يكون ذكيا جدا ولكنه ايضا غريب وغير مهندم وعازف عن الزواج ويميل الى العزله ليست بقاعده القليل من علماء الرياضيات الذين ينطبق عليهم هذا القالب الى حد ما ولكن لا شيء اكثر غباء من اعتقاد ان المراه في حال ما لم ينطبق عليه هذا القالب لا يمكن ان يكون ماهرا للرياضيات الخاتمه ان الرياضيات ليست الموضوعات الممله التي تعرفت عليها في المدرسه والجامعه بل الطريقه الاساسيه لمحاكاه مسائل العالم الحقيقي لدراستها واستكشافها وقد كان الغناس البعض فيها فلسفيا والبعض الاخر تجريديا سببا رئيسا في فقدان القدره على فهمها والاستفاده منها ويعزى الفضل في الرياضيات عبر التاريخ الى الكثير من العلماء والمبدعين ولعل ابرزهم تقليدس الذي اسس في كتابه الاصول علم الهندسه هو ختاما يجب تصحيح الافتراضات الخاطئه التي نمتلكها عن الرياضيات وعلمائها فهي علم لا يتعامل مع الارقام تامه الدقه فمعظم حلول المسائل الرياضيه هي ارقام تقريبيه كما يجب ان ننظر الى علماء الرياضيات بطريقه اكثر واقعيه بعيدا عن الصوره النمطيه التي رسمناها لهم في مخيلتنا