حل رياضيات الثالث المتوسط صفحة 107 و 108 تأكد من فهمك و تدرب وحل التمرينات

السلام عليكم كمل دروس الرياضيات للصف الثالث المتوسط الفصل الرابع درسنا لهذا اليوم هو حل اسئله تاكد من فهمك وتدرب وحل التمرينات صفحه 107 و 108 الاسئله اللي متعلقه بالدرس السادس من دروس الفصل الرابع درس النسب المثلثيه السؤال الاول من الشكل المجاور جد بال المثلثيه الاتيه ما هو المطلوب هذا السؤال المطلوب ايجاد ساين الزاويه اي هذه الزاويه اي هنا يريد الساين كوساين السي ايضا هاي الزاويه الحاده الاخرى هذه السي كوتان الزاويه سي و سيكنت الزاويه اي يعني القاطع شنو نحتاج حتى نجد كل هاي النسب لازم نكمل هذا المثلث لانه بكل بساطه قوانين ساين كوساين والتان وباقي النسب المثلثيه تعتمد على اطوال اضلاع المثلث بالنسبه للزاويه سي الكوساين هو المجاور على الوتر يعني لازم نجد طول الضلع اي سي ساين الاي هذه الاي المقابل على الوتر لاحظ هنا عندك السي من نريد اللها الساين المقابل على الوتر بينما الاي هذا يصير الضلع المقابل لها يختلف عن المقابل للسي واضح هنا السي هذا المقابل هذا المجاور بينما الزاويه اي هذا الضلع المقابل لها وهذا الضلع المجاور اذا الخطوه الاولى نكمل المثلث شنو المجهول عندنا هنا المجهول طول الوتر مثلث قائم الزاويه يعني نطبق مبرهنه فيثاغورس مبرهنه فيثاغورس مربع الوتر في المثلث القائم الزاويه يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين الوتر اللي هو اي سي يعني اي سي تربيع يساوي الا بي تربيع زائد البي سي تربيع شنو هذا اللي كتبته مبر فيثاغورس حتى نجد هذا الضلع نجد طول الوتر مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين قائمين بعد خوه التعويض الاي سي هو اللي مجهول يبقى اي سي تربيع يساوي الاي بي 4 تربيع زائد البي سي اللي هو لا 3 تربيع اذا الاي سي تربيع يساوي 4 تربيع 16 زائد 3 تربيع 9 16 ز 9 25 يعني الاي سي تربيع يساوي 25 اناي ما اريد الاي سي تربيع اريد طول الضلع اي سي ما اريد مربعه باخذ الجذر التربيعي للطرفين اذا طول الضلع اي سي يساوي 5 سنتيمتر بجذر الطرفين جذر الطرفين بما انه عندي طول ناخذ بس الموجب يعني طول الضلع اي س اللي يمثل الوتر هو سنيم هسه انحلت المشكله لقينا اطوال اضلاع المثلث الثلاثه اذا هسه بكل بساطه نجد النسب المطلوبه اول مره عندي ساين الزاويه اي ما هو قانون الساين هذه الزاويه اي المقابل على الوتر المقابل على الوتر هاي الصيغه نحفظها بالعربي وبعدين نعوض المقابل على الوتر انتبه وياي الاي هذا المقابل وهذا المجاور بينما الزاويه سي راح يصير هذا الضلع المقابل وهذا الضلع المجاور يعني لكل زاويه مقابل ومجاور يختلف عن الزاويه الحاده الاخرى ها ننتبه لها الوتر هو نفس هذا الضلع المقابل للزاويه القائمه يعني ساين الزاويه اي بالرموز راح يصير ساين الاي هذه الاي مقابل اللي هو بي سي على الوتر اللي هو اي سي ويساوي المقابل لاثه والوتر هو خمسه هذا هو ساين الزاويه اي المطلب الثاني كوساين السي كوساين كوساين الزاويه سي شنو قانونه قانون المجاور على الوتر اي مجاور مجاور السي اللي هو هذا يعني اذا بالرموز كوساين السي المجاور بي سي على الوتر اللي هو اي س المجاور البي سي اللي هو لا والوتر اللي هو خ كوساين السي 3 على خ ركز وياي ساين الاي المقابل على الوتر 3 على خ كوساين السي يعني مجاور الزاويه سي اللي هو هذا البي سي على الوتر اللي هو اي سي ايضا 3 على 5 المطلب الثالث كوتان الزاويه سي كوتان الزاويه سي شنو كوتان السي واحد على التان الكوتان هو مقلوب التان واحد على تان الزاويه سي التان شنو قانونه تان الزاويه سي المقابل على المجاور المقابل على المجاور المقابل اللي هو اي بي على المجاور اللي هو بي س يعني واحد على المقابل على الضلع مجاور المن هاي نحكي ل الزاويه سي واحد على المقابل على المجاور اذا كمل هنا كوتان الزاويه سي راح يساوي واحد على المقابل اللي هو اي بي على المجاور اللي هو ويساوي واحد على المقابل عه على المجاور اللي هو لاه مقام المقام راح يصير بس يعني راح يصير 3 على ا يعني مقلوب التان او ممكن نجد التان ايضا نقدر نلقى التان نروح نحسب التان التان هو المقابل على المجاور التان 4 على 3 الكوتان مقلوب ان يعني يصير 3 على ا ايضا صحيح وهنا حليت بالتفصيل واضح ممكن نجد التان هاي طريقه الثانيه نحسب التان ونقلبه اللي هو كوتان نفس الحاله سيكنت الاي سيكنت هو مقلوب الكوساين سيكنت واحد على كوساين الاي المطلب الرابع سيكنت الزاويه اي سيكنت شنو قانونه هو واحد على كوساين الزاويه اي السيك مقلوب الكوساين يعني سيكنت الاي يساوي واحد على المجاور على الوتر كوساين المجاور على الوتر المجاور هنان منو هو اي بي هاي نحسب كوساين الاي المجاور على الوتر اللي هو اي سي يعني سيكنت الزاويه اي راح يساوي واحد على المجاور عه على خ ويساوي 5 على ا هذا هو سيكنت الاي وقلنا طريقه ثانيه احسب الكوساين على جهه الكوساين هو كوساين الاي طبعا دير بالك كوساين الاي المج على الوتر بينما كوساين السي شوف هنا كوساين السي هذا المجاور مالته اللي هو بي سي على الاي س بينما هنا كوساين الاي المجاور اي بي على بي س انتبه لها الاي الى مجاور و مقابل السي ال مجاور والى مقابل يختلف عن الاي السؤال الثاني المثلث اي بي سي القام الزاويه هنا طبعا انت راح ترسم المثلث القائم الزاويه لكن نحدد لك بالسؤال وين قائم الزاويه في البي بينما نلاحظ بالسؤال السابق المثلث مرسوم هسه هنا لا احنا راح نرسم المثلث القائم الزاويه اذا كان كوتان الاي يساوي جذر لاه كوتان الاي يساوي جذر لاه المطلوب جد تان الاي ساين الاي كوسيك الا و سيكنت الاي وكوساين الزاويه اي اذا الخطوه الاولى نرسم هذا المثلث القائم الزاويه مثلث قائم الزاويه في البي انت بعد مخير هنا تخلي الاي وهنا السي او السي وهنا الاي ما ياثر نفس الشي ما ياثر نفس النواتج راح تطلع بالاخير نرك ركز شويه بهذا السؤال شنو المعلومه منطيني اياها منطيني كوتان الاي كوتان الاي شنو اللي راح استنتجه من الكوتان اللي راح استنتجه من الكوتان راح استنتج طول ضلعين من اضلاع المثلث راح استفيد منه بهذا النوع من الاسئله راح نحصل على طول ضلعين من اضلاع المثلث نطبق فيثاغورس حتى نجد الضلع الثالث ثم نكمل الباقي مطالب السؤال ركز وياي هذا مهم جدا ها الفكره مهمه وحتاج لها شويه تركيز سؤال السابق احنا راسمين لك المثلث ومخلي لك المعطيات هنا انت راح ترسم المثلث وتخلي عليها اطوال اضلاع المثلث وتكمل المثلث بتطبيق فيثاغورس لكن منو من هاي الاضلاع راح نعرفه من المعطى اللي منطيني اياه بالسؤال منطيني كوتان الزاويه اي شنو قانون الكوتان كوتان الزاويه اي يعني واحد على تان الزاويه اي هذه الزاويه اي شنو قانون التان التان هو المقابل على المجاور كوتان الاي هو واحد على تان الزاويه اي التاني منين نحصله من المقابل على المجاور يعني واحد على بي سي هذا المقابل للاي طبعا ما ننسو هنا عندك المقابل للسي يختلف بي سي على الاي بي هذا راح ينقلب يعني هذا يساوي اي بي على البي سي منطيني هنا منطيني جذر لاثه ركز وياي ه هذا الجذر لاه اللي هو اي بي على البي س يعني هذا هسه كوتان اللي منطيني اياه اللي قانونه راح يصير اي بي على البي سي ش يساوي راح يساوي جذر 3 ك على ك تمام هذا المقام مالته واح نضرب البسط والمقام بك واضح هذا هذا الاستنتاج المهم هذه لبه السؤال هاي اهم خطوه بالسؤال راح نستنتج طول الضلعين حتى نجد طول الوتر ونكمل باقي المعطيات منين بدينا الكوتان هو مقلوب التان التان قانونه المقابل على المجاور المقابل بي سي على المجاور اي بي هذا راح ينقلب مقام المقام يصير بس صار عندك اي بي على بي سي هذا منو هذا كوتان الاي الكوتان اللي هو جذر 3 يعني الاي بي على بي س هو جذر 3 ك على الك ضربنا البسط والمقام بك اذا الاي بي ايش قد طوله جذر 3 ك الاي بي هذا جذر 3 ك والبي سي هو ك واضح اللي صار هنا هسه الاي بي جذر 3 ك والبي سي اللي هو الك بعدها نطبق فيثاغورس مربع الوتر اي س تربيع يساوي اي بي تربيع زائد البي سي تربيع الوتر ايضا مجهول هنا اي س تربيع راح يساوي الاي بي تربيع اللي جذر 3 ك كل تربيع زائدا البي سي تربيع البي س اللي طوله ك تربيع جذر 3 ك الكل تربيع جذر 3 في جذر 3 راح يصير لا وكي في ك هذا 3 ك تربيع زائد هذا راح يصير تربيع هذا منو هذا الاي سي تربيع الاي سي تربيع راح يساوي 3 ك تربيع زائد ك تربيع 4 كي تربيع ياخذ الجذر التربيعي للطرفين اذا الاي سي يساوي جذر 4 ك تربيع راح يصير 2 ك جذر خذ الجذر التربيعي للطرفين يعني الاي س يساوي 2ك منين جت 2ك جرنا الطرفين اذا طول الوتر هو 2 ك هسه انحلت المشكله لقينا اطوال اضلاع المثلث هسه نروح على المطالب نريد تان الاي المطلب الاول تان الزاويه اي هذه الاي التان هو المقابل على المجاور المقابل على المجاور تان الاي اللي هو بي سي على الاي بي البي سي ايش قد ك على جذر 3 ك ويساوي واحد على جذر 3ه تمام هذ الاي هذا المقابل هذا المجاور السي هاي الزاويه سي هذا المقابل وهذا المجاب المطلب الثاني لساين الاي ساين الزاويه اي شنو قانون الساين ساين الاي المقابل على الوتر المقابل بي سي على الوتر اللي هو اي سي نعوض البي سي ايش قد ك على ا ك ايضا نختصر الك راح يصير عندي الساين واحد على ا ساين الاي واحد على ا كوسيك الزاويه اي كو سيكنت الاي يعني قاطع تمام الاي الكوسيك مقلوب الساين يعني واحد على ساين الاي هذا ساين الاي احنا حسبناه هسه كوسيك واحد على الساين يعني واحد على واحد على ا والناتج هو ا واضح هذا الساين احنا حاسب كوسيك مقلوب الساين لو كان ما موجود احنا ما مطلوب هذا نحسب الساين اللي هو ساين الاي المقابل على الوتر يطلع واحد على ا وايضا نقلبه اين المطلب الرابع سيكنت الاي قاطع الزاويه اي السيك و مقلوب الكوساين واحد على كوساين الاي كوساين الاي هاي الزاويه اي يعني المجاور على الوتر يعني واحد على كوساين الزاويه اي هذ الاي المجاور على الوتر المجاور هو جذر 3 ك على الوتر اللي هو 2 ك راح نختصر الك ونقلب فالناتج راح يصير 2 على جذر 3 سيكن الاي اين على جذر 3 المطلب الاخير اللي يريده كوساين الزاويه اي كوساين الاي المجاور على الوتر اي بي على الاي سي كوساين الاي المجاور على الوتر اي بي على الاي سي الاي بي اللي هو جذر 3 ك جذر 3 ك على 2 ك ونختصر الك يعني جذر 3 على 2 هذا هو كوساين الزاويه اي ضروري جدا اول مره المثلث القائم الزاويه لازم حافظين القوانين الرئيسيه عندي ساين كوساين التان الساين هو المقابل على الوتر كوساين المجاور على الوتر والتان المقابل على المجاور وما ننسى الاي الزاويه لها مقابل وها مجاور بينما السي ايضا لها مقابل يختلف ومجاور الوتر هو نفسه السؤال الثالث اثبت ما ياتي سؤال الاثبات مهم جدا وبسيط جدا لكن عل من يعتمد هذا لازم نكون حافظين الجدول شنو من جدول جدول النسب المثلثيه للزوايا الخاصه ضروري جدا نحفظه نقدر نحل هاي الاسئله بكل بساطه هاي الافكار بسيطه مهمه ودائما تتكرر بالامتحان الوزاري وايضا هذه النسب ضروري جدا نحفظها لانه واي نعتمد عليها السنوات القادمه ان شاء الله بالفيزياء وبالرياض ضروري جدا ساين كوساين والتان لهاي الزوايا الخاصه نسميها الزوايا الخاصه النسب المثلثيه للزوايا الخاصه نقصد به هذا الجدول النسبه المثلثيه وهاي الزوايا عندك ال 30 ساين لها نصف كوساين جذر 3ه على اثين والتان واحد على جذر 3ه ال 60 عكس ال 30 الساين جذر على اشوف هذا ساين 60 وكوساين 60 هووا على ا وتان 60 جذر عكس 45 بسيطه واحد على جذر 2 الساين الكوساين ح على جذر 2 والتان واحد 90 الساين واحد الكوساين صفر التان غير معرف لان التان هو ساين على الكوساين وما يصير القسمه على الصفر وهنا عندك الصفر الساين صفر الكوساين 1 والتان صفر هذا الجدول بسيط جدا 30 و 60 وحده عكس الثانيه ال 45 بسيطه واحد على جذر 2 اثنينهن والتان واحد وهاي 90 والصفر ضروري جدا نحفظه هذا مهم جدا الفرع الاول كوساين 30 ناقص كوسيك ال 45 في ساين 60 زائد سيكنت ال 45 يساوي سالب خ على ا الاثبات يعني كل هاي الهوسه هسه اللي بالطرف الايسر يقول قيمتها سالب خ على ا نريدك تتاكد لنا تبين لنا شلون كل هذا المقدار اللي باليسار قيمته سالب خ على ا عليه من نعتمد على الجدول بالاعتماد على جدول النسب المثلثيه للزوايا الخاصه اذا هسه شلون نبدي راح ناخذ الطرف الايسر ممكن اكو اسئله ناخذ الطرف الايسر ممكن الطرف الايمن وممكن الطرفين الطرفين نبسطه ونتاكد انه الطرف الايمن مساوي للطرف الايسر الطرف الايسر هذا الطرف الايسر هذا الناتج بعد ما له علاقه به ما اخذه بس اكمل شغلي واتاكد انه هذا النا يساوي سالب خ على ا في ساين 60 درجه زائد سيكان ال 45 درجه طبعا ايضا نبه الجدول هذا موجود بال الساين والكوساين والتان زين وهذه اللي بقت اللي هي السيك والكوس والكوت ما يحتاج تحفظها بس تحفظ القانون السيك انتت مقلوب الكوساين الكوسيك انتت مقلوب الساين والكوت مقلوب التان يعني من نقول لك نريد كوسيك ال 30 يعني واحد على واحد على ا راح يصير 2 سيكن واحد على جذر 3 على ا راح يصير 2 على جذر 3 كوتان الزاويه 30 يعني تقلب هاي يصير جذر 3 على 1 يعني بس ن قلبهن تمام سيكنت مقلوب الكوساين الكوسيك انتتت مقلوب الساين والكوت مقلوب التان بس نقلب هاي النسب هذيك مقلوبات هاي النسب المثلثيه الاساسيه واضح ها هاي مهمه جدا مو تدوق روحك تقعد تحفظ السيك والكوس كنت والكوت لا المقلوبات مقلوبات هاي الدوال بكل بساطه هسه نبدا بالتعويض كوساين 30 جذر 3 على ا نعوض جذر 3 على ا ناقص كوسيك ال 45 الكوسيك هو مقلوب الساين يعني واحد على ساين ال 45 درجه شويه بالتفصيل حتى ما نتوهم راح نحلها ساين 60 جذر لا على 2 زائد سيكنت ال 45 السيك و مقلوب الكوساين واحد على كوساين ال 45 درجه هه راح نعوض هنان يعني راح ينزل هذا كوساين ال جذر 3 على ا ناقص واحد على ساين ال 45 يعني واحد على واحد على جذر 2 حليت بالتفصيل ممكن على جهه ممكن على جهه تكتب الكوسيك انتت وتعوض ايضا صحيح لكن هنادا نحل بالتفصيل حتى تتهمون هاي جذر 3 على ا بعدنا ما صار عندنا اي شي زائد واحد على سيكنت مقلوب الكوساين كوساين ال 45 ايضا واحد على جذر 2 هسه نبسط هنا ها نقلبها راح يصير عندك جذر 3 على ا ناقص جذر ا على واح في ايضا هنا جذر 3 على ا زائد جذر اين على واضح اللي صار هنا هسه كوسيك مقلوب الساين ساين ال 45 على جذر ا يعني مقلوبه جذر ا على السيك هو مقلوب الكوساين كوساين 45 واحد على جذر 2 يعني مقلوبه جذر 2 على 1 بكل بساطه هنا حليت بالتفصيل حتى يتوضح عندنا اللي ده يصير هسه ممكن نكتب الناتج مباشر شلون اقدر اكتبه مباشر عندي هذه مجموع حدين في الفرق بينهما مباشره تكتبلنا مربع الاول ناقص مربع الثاني هاي صحيحه ما بها مشكله طالب ثاني يقول عمل التوزيع نقوله ايضا صحيح لكن شويه الحل راح يصير مطور هنا مباشر الاول في الاول والثاني ناقصا الثاني في الثاني هاي بكل بساطه او نقدر نقول مربع الاول ناقص مربع الثاني ما عرفتها تستعمل التوزيع لكن برايي التوزيع شوي راح يصير مطول واضحه الفكره هنا اللي راح يصير حد الاول نفسه الثاني نفسه مره جمع مره طرح اذا مباشر الاول في الاول ناقصا الثاني في الثاني او نقول الاول تربيع ناقصا الثاني تربيع راح اكمل هنا بهاي الجهه ويساوي مربع الاول ناقص مربع الحد الثاني ها طبعا مر علينا بالفصل الاول وبالفصل الثاني من المقادير الجبريه وقلنا ممكن الطريقه الاساسيه التوزيع مباشر هنا جذر 3 على ا الكل تربيع ناقص جذر 2 على 1 الكل تربيع او ممكن بس جذر الاثنين ايضا صحيح المربع للبسط ولل المقام يعني جذر 3 تربيع 3 على 2 تربيع اللي هو 4 ناقص هنا راح يصير جذر 2 على 1 يعني 2 على 1 هسه نوحد المقامات المضاعف 4 4 تقسي 4 1 في 3 3 ناقص 4 تقسي 1 4 في 8 3 ناص 8 سالب خ على 4 ويساوي الطرف الايمن واضح ويساوي الطرف الايمن نكرر هنا ولو طولنا شويه بهذا السؤال بس ممكن تشوفون اكثر من طريقه الحل وانتم حاولوا بالحل ضروري جدا انتم تشتغلون اولا امشوا بطريقتكم وفهمكم كل طالب عنده طريقه يعني ما ممكن انت تحل بنفس طريقه زميلك او المدرس لازم عندك هويه بالحل عندك طريقه امشي عليها حل حاول مره اثنين ثلاثه ماكو مشكله طالب يستعمل التوزيع صحيح طالب مباشر يقول مربع الاول ناقص مربع الثاني صحيح طالب يقول هذه الاول في الاول ان في الثاني هم صحيح المهم الناتج بالاخير سالب خ على ا اللي هو نفس الطرف الايمن رايت سايد الطرف الايمن فرع الثاني اذا اثبت ان 2 ساين في سيكنت يساوي كوسيك 60 هنا لازم ناخذ الطرفين راح ناخذ الطرف الايمن اللي هو 2 ساين 30 درجه في سيكنت 30 درجه ها طبعا ضرب بينات ويساوي هسه نعوض اين في ساين اللي هو واحد على 2 في سيكنت ال 30 سيكنت مقلوب الكوساين سيكنت مقلوب الكوساين راح اعوض مباشر او راح احل بالتفصيل مو مشكله واحد على سيكنت واحد على كوساين 30 يعني راح يصير عندك هاي هنا 2 فيوا 2 2 على ا في واحد على كوساين ال اللي هو جذر 3 على 2 هذا راح يختصر طبعا راح يصير عندك واحد في هذا راح ينقلب يصير 2 على جذر ويساوي الناتج هو ا على جذر 3 هذا من الطرف الايسر طبعا ها التبسيط انت ممكن تختلف بالخطوات ماكو مشكله انا انا هنا حليت بالتفصيل حتى يتوضح اللي ده يصير بالضبط ممكن يصير عندنا اختصار يعني اختصار بالخطوات صحيح خذنا الطرف الايمن قيمته ا على جذر الطرف الايسر اللي هو كوسيك انتت ال 60 كوسيك ال 60 يعني واحد على ساين 60 درجه شنو هو ساين ال 60 اللي هو جذر 3 على 2 قلنا 30 و 60 حده عكس الثانيه ساين 60 جذر 3 على ا مقام المقام راح يصير بسط ويساوي 2 على جذر 3 اذا اثبتنا انه الطرف الايسر يساوي الطرف الايمن الطرف الايسر اين على جذر 3 والطرف الايمن ايضا 2 على جذر 3 واضح اللي صار هنا هذا الحل بالتفصيل هنا نثبت انه نجد قيمه الطرف الايسر وايضا قيمه الطرف الايمن نفس الناتج اذا الطرف الايمن مساوي للطرف الايسر هذا هو المطلوب فرع الثالث كوساين 45 درجه ناقص كويكن ال 45 في تان ال 45 في كوسيك 90 درجه ايضا نبدي راح ناخذ الطرف الايسر راح اعوض مباشر هذا هو موجود مباشر شره راح ابدا بالتعويض كوساين ال 45 واحد على جذر 2 ناقص كوسيك ال 45 راح اوضحه هنان حتى اكتبه مباشر وما يطول الحل كويكن ال 45 درجه يعني واحد على ساين 45 درجه يعني واحد على واحد على جذر 2 ويساوي جذر 2 على واح تمام هنا هاي وضحتها هنان اي قد قيمه كوسيك ال 45 الكوسيك مقلوب الساين ساين ال 45 واحد على جذر 2 يعني مقلوبه جذر 2 على واح هاي جذر اين على 1 في تان ال 45 اللي هو موجب واح في كوسيك 90 ايضا هنا جهه كو سيكنت 90 يعني واحد على ساين الت0 يعني واحد على واحد اللي هو واحد اذا كوسيك ال90 ايضا موجب واحد هذا التوضيح هنان كوسيك مقلوب الساين ساين ال90 واحد واحد على واحد اللي هو واح عوضنا اول مره ذ وضحنا هن ها كوسيك 90 وكوس 4 هاي التوضيح المهم اللي نريد احنا كاتبه انت بصوره صحيحه واضح كاتبن بصوره صحيحه اذا ناسه نوحد المقامات المضاعف راح يصير ايش قد طبعا ها واح في واح واحد بعد ما حاجه نكتب المضاعف هنا راح يصير جذر 2 جذر 2 تقسيم جذر 2 واح في واحوا ناقص جذر ا تقسيم 1 جذر ا في جذر 2 هاي ا واح ناقص 2 ويساوي سالب واحد على جذر 2 هاي قيمه الطرف الايسر سالب واحد على جذر 2 ح ناقص 2 سالب واحد على جذر 2 وراح ناخذ الطرف الايمن الطرف الايمن اللي هو سالب كوساين 45 درجه يعني سالب كوساين ال 45 واحد على جذر 2 نفس الناتج نعم نفس الناتج اذا تاكدنا انه الطرف الايسر يساوي الطرف الايمن الطرف الايسر مساوي للطرف الايمن فرع الرابع هنا عندي ايضا طرفين طرف الايسر الجذر التربيعي للواحد ناقص كوساين ال0 على ا يساوي ساين الثلاث ايضا راح ناخذ الطرف الايسر راح اعوض مباشر هذا هو الطرف الايسر الجذر التربيعي للواحد ناقص 60 اللي هو نصف واحد على ا على المقام اللي هو ا واحد ناقص نص راح يصير نص واحد ناقص نصف نصف ها نوحد المقامات الناتج نص يعني جذر واحد على ا على ا هذه هنان 2 على واح مقام المقام راح يصير بسط راح يصير عندنا هنان جذر للواد على ا في واحد على ا تمام ها 2 على واح راح تصير د على ا يعني الجذر التربيعي للواحد على ا جذر الواحد هو واحد وجذر الاربعه اللي هو اين هذا هو الطرف الايسر الطرف الايمن اللي هو ساين 30 درجه اللي يساوي ايضا واحد على ا سا وواد على ا اذا الطرف الايسر يساوي الطرف الايمن هذا هنا طبعا اين على واحد مقام المقام يصير بسط ونقلب هذه القسمه الى ضرب في مقلوب الكسر هذا اللي بالمقام واحد على ا في واحد على ا صار عندك واحد على ا جذر الواحد على ا هو واح على ا جذر الواحد هو واحد وجذر الاربعه ا سؤال الرابع دائره ورقيه ارتفاعها 3 جذر 3 متر عن سطح الارض اذا كان الخيط المتصل بها يصنع زاويه مقدارها 60 درجه مع الارض جد طول الخيط ايضا هذا السؤال من التطبيقات المهمه اللي يعتمد على المثلث القائم الزاويه ايضا على النسب المثلثيه وا الخاصه يعني ايضا هنا لازم حافظ النسب المثلثيه للزوايا الخاصه وقوانين النسب المثلثيه الساين المقابل على الوتر الكوساين المجاور على الوتر والتان اللي هو المقابل على المجاور اول مره نرسم المثلث القائم الزاويه الطائره الورقيه شلون هسه شايفيها اكيد اكثركم مستعمليها الطائره نطيرها بالهواء راح تصير الخيط وضع الخيط بشكل مائل هذا هو بهالشكل هذا راح يصير طول الخيط هذا اللي يمثل ارتفاع الطائره عن الارض وهذا اللي يمثل الارض هنان هذا الارتفاع وهذا طول الخيط اول خطوه اهم خطوه رسم المثلث هذا طول الخيط المجهول اللي راح نرمز لله بالحرف ال راح ارمز لله بالحرف ال وهذا ارتفاع الطائره هاي هنان الطائره الورقيه هذا الارتفاع اللي هو 3 جذر 3 متر شنو المعلومه يقول هذا الخيط هذا الخيط يصنع زاويه مقدارها 60 درجه مع الارض هاي الزاويه 60 درجه ما هو المطلوب المطلوب طول الخيط طول الخيط شو يمثل بهذا المثلث القائم الزاويه اللي رسمناه يمثل الوتر يمثل الوتر اذا هسه نفكر اي قانون راح نستعمل نستعمل قانون الساين لو قانون الكوساين لو نستعمل قانون التان حتى يفيدنا لانه هاي 60 انا حافظ النسب المثلثيه الها الساين والكوساين والتان راح استعمل وحده من هاي النسب حتى اجد طول الوتر هاي ال 60 هذا الضلع المقابل وهذا الوتر اذا القانون اللي استعمله لازم يكون ب المقابل وب الوتر اذا راح استعمل قانون الساين ساين ال0 هو المقابل على الوتر ليش استعملت الساين لانه هذا الضلع المقابل عندي معلوم والوتر هو اللي مجهول تمام راح نستعمل قانون الساين اذا ساين ال 60 يساوينا المقابل على الوتر ممكن ننطيها رموز هذه راح اسميه هاي النقطه اي وهن ب وهنا سي وممكن بس هاي المقاب على الوتر كافي ما يحتاج اذا ساين 6 60 شو يساوينا طول الاي بي على طول الاي سي اي بي على الاي سي ساين 60 هذا عرفه اني اللي هو جذر 3 على 2 يساوي الاي بي اللي هو هذا طول الوتر الاي بي اللي هو يمثل ارتفاع الطائره هذا منطيني اياه 3 جذر 3 و الوتر هذا هو اللي مجهول يمثل طول الخيط رمزت بالحرف ال سميته ال فرضنا طول الخيط هو ال او نسميه اي س ايضا صح ماكو مشكله حاصل ضرب الوسطين يساوي حاصل ضرب الطرفين يعني جذر 3 ال يساوي ا في 3 جذر 3 اذا جذر 3 ال يساوي 6 جذر 3 بقسمه طرفي المعادله على جذر 3ه او نقول البعيد على القريب اذا اللال يمثل طول الخيط هو 6 جذر 3 الال 6 جذر 3 على جذر 3 راح يصير عندي اختصار اذا الال يساوي 6 متر هذا هو طول الخيط هذا هو طول الخيط ال يساوي 6 متر واضح اللي استعملناه هنا اذا هاي اسئله مهمه وشويه يحتاج لها تركيز استعملت الساين لانه معلوم عندي المقابل والمجهول هو الوتر اللي يمثل هنان طول الخيط وهذا الرسم ضروري مستوعب يعني هذا مثلا ممكن شي يجيك مشابه مثلا يقف رجل امام برج او عماره مثلا الشكل هذا رسمها هاي المسافه بين الشخص و بين قاعده البرج وهذا الخط الوهمي اللي يمثل الوتر هذا البعد بين الشخص وبين قمه هذا البرج هذا هنا خلنا نفترض الشخص هنا هذا موقعه هذا هو البرج او العماره وهذا البعد بين الشخص وقمه البرج ايضا نستعمل الساين او الكوساين او التان حسب المعطيات ممكن ينطي البعد وينطيني ويريد الارتفاع استعمل التان هنا طبعا تكون الزاويه معلومه استعمل التان لانه التان المقابل على الوتر لانه التان المقابل على المجاور ما احتاج الوتر ممكن يطلب مني المسافه بين الشخص وبين قمه هذا البرج ومنطي ارتفاع البرج استعمل الساين منطيني المسافه استعمل الكوساين وهكذا هذا ضروري جدا يعني حسب معطيات السؤال بعد ما نرسم المثلث القائم الزاويه ونقرر شنو المعلوم وشنو المجهول اللي يريده من عندي سؤال رقم خم من الشكل المجاور جد النسب المثلثيه الاتيه عندي هذا مثلث قائم الزاويه في البي اي بي س المطلوب ايجاد كوتان الاي كوتان السي وسيك السي ووسن الاي حتى نجد كل ها النسب المثلثيه نحتاج نكمل اطوال اضلاع المثلث الوتر معلوم 13 هذا الضلع القائم البي س معلوم 12 عندي هذا الضلع القائم الاخر اللي هو الاي بي مجهول اذا الخطوه الاولى بهاي الاسئله نكمل اطوال اضلاع المثلث لانه كل النسب المثلثيه تعتمد على اطوال الاضلاع اذا الخطوه الاولى استخدام مبرهنه فيثاغورس مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين يعني اي بي تربيع زائدا البي سي تربيع يساوي اي س الكل تربيع هذا شنو الكلام منين جبناه على اي اساس نقول هاي مبرهنه فيثاغورس هذا منين الكلام من مبرهنه فيثاغورس الاي بي مجهول يبقى مثل ما هو اي بي تربيع زائد البي سي تربيع طوله 12 سنتيمتر زائد 12 تربيع يساوي الاي س اللي هو الوتر 13 تربيع اذا الاي بي تربيع اذا الاي بي تربيع زائد 12 تربيع يعني 12 في 12 144 يساوي 13 تربيع يعني 13 في 169 نقل 144 للطرف الاخر اذا الاي بي تربيع يساوي 169 ناقص 144 اذا الاي بي تربيع يساوي 25 169 ناص 144 25 باخذ الجذر التربيعي للطرفين اذا راح يكون طول الضلع اي بي يساوي 5 سم اذا عرفنا طول هذا الضلع اللي هو 5 سيم هسه نقدر نبدا بايجاد هاي المطالب المطلب الاول يريد كوتان الاي كوتان الاي شنو قانون الكوتان هو مقلوب التان يعني قانونه واحد على تان الزاويه اي واحد على تان الزاويه اي هذه الزاويه اي التان هو المقابل على المجاور التان المقابل على المجاور نكرر هذا التنبيه الاي هذا المقابل الها وهذا المجاور بينما هاي الزاويه سي هذا يكون المقابل وهذا المجاور واحد على تان الاي تان الاي اللي هو المقابل على المجاور يعني واحد على بي سي على الاي بي ممكن هسه نقلب هاي النسبه يعني راح يصير قانون هو الاي بي على البي سي هسه نعوض اي بي اللي هو 5 على البي سي اللي هو 12 او هنا نعوض 12 على 5 ونقلب راح تصير 5 على 12 هنا انا قلبت النسبه بالرموز قبل ما اعوض ممكن تعوض وتقلب تصير عندك ايضا واح على 12 على 5 يصير 5 على 12 اكرر منين هذا الكلام الكوتان هو مقلوب التان تان الزاويه اي قانونه هو المقابل على المجاور المقابل للزاويه اي على مجاور الزاويه اي عوضنا بالرموز بي سي على الاي بي قلبنا النسبه وعوضنا اخر شيء بال اطوال المطلب الثاني يريد كوتان الزاويه سي كوتان الزاويه سي ايضا مقلوب التان لكن تان منو تان السي واحد على تان الزاويه سيان السي هو المقابل على المجاور يختلف هسه مقابل السي هذا الاي بي والمجاور الى البي سي يعني واحد على اي بي على بي سي المقابل للسي على المجاور راح نقلب النسبه يعني هنا هذا راح يصير بي سي على الاي بي الخطوه الاخيره نعوض البي سي اللي هو 12 والاي بي اللي هو خم هذا هو كوتان السي كوتان الزاويه سي المطلب الثالث يريد سيكنت السي هذا المطلب الثالث سيكنت الزاويه سي السيك هو مقلوب الكوساين الكوساين اللي هو المجاور على الوتر يعني بي سي على الاي سي وبعدين نقلبها السيك انتت هو مقلوب الكوساين كوساين الزاويه سي يعني المجاور على الوتر بي سي على الاي سي واحد على بي سي على اي سي ويساوي هسه نقلب اي سي على البي سي واخر خطوه هي التعويض الاي سي 13 والبي سي اللي هي 12 او ممكن بالبدايه يقول طالب انا احسب كوساين السي وبعدين اقلبه كوساين الزاويه سي المجاور على الوتر 12 على 13 السيك هو مقلوب الكوساين يعني يصير 13 على 12 ايضا صحيح هنا حليت بالتفصيل واحد على الكوساين الكوساين هو المجاور على الوتر قبنا النسبه اي س على بي س وعوضنا والمطلب الاخير اللي هو كوسي كوسي الكوسيك هو مقلوب الساين يعني واحد على ساين الاي هذه الزاويه اي هذا المجاور ها الزاويه اي هذا المقابل هذا المجاور هذا الوتر يختلف عن ساين الاي هو المقابل على الوتر يعني بي س على الاي س واحد على س على الاي س ممكن طالب يشتبه يقول شو هنا ي س على اي س نعم هذا كوساين السي كوساين السي هو المجاور على الوتر بينما ساين الاي هو المقابل على الوتر مجاور الزاويه هو مقابلي ومجاور الزاويه اي هو مقابل الزاويه س واضح للاي مقابل المجاور للسي مقابل و مجاور هسه نقلب يعني الاي سي على الاي سي على البي سي وايضا هذا راح يساوي 13 على 12 كذلك هذا هو 13 على 12 سؤال السادس المثلث اي بي سي القائم الزاويه في البي اذا كان سيكنت الاي يساوي جذر اين جد ساين الاي كوتان السي وكوس كنت الاي وكوساين السي ناش منطي منطي سيكن الاي يساوي جذر ا اذا هنا ايضا بالاعتماد على المثلث القائم الزاويه يعني اول نرسم مثلث قائم الزاويه في الزاويه ب اذا هاي الخطوه الاولى اي بي سي مثلث قائم الزاويه في البي هاي الزاويه القائمه نسميها ب وهنا نخلي الاي وهنا نخلي السي منطي من معلومات يقول سيكنت الزاويه اي هذه الزاويه اي السيك شنو قانونه سيكنت الزاويه اي السيك ومقلوب الكوساين واحد على كوساين الاي كوساين الاي شنو قانونه المجاور على الوتر يعني واحد على اي بي على الاي س ه نقلب هذا مقام المقام يصير بسط راح يصير القانون سيكنت الاي هو اي س على الاي بي منطيني سيكنت الاي السيك مقلوب الكوساين السيك هو مقلوب الكوساين الكوساين قانونه المجاور على الوتر اي بي على الاي سي نقلبه صار اي سي على الاي بي اذا هذا الاي سي على الاي بي هاي النسبه نعرفها منطيني اياها جذر اين لكن هذه السيك معلومه يعني هذا اللي هو يمثل السيك اي س على الاي بي معلوم اللي هو جذر 2 على 1 جذر 2 يعني جذر 2 على 1 هسه شو اسوي هنا هاي نسبه طبعا بابسط صوره نضرب البسط والمقام بك نضرب كل من البسط والمقام بالك يعني نخلي ك للبسط وكي للمقام هذا واحد ك او نكتب ك ماكو مشكله بس الك واحد ك او ال نحذف هذا الواحد هسه ماكو مشكله حتى لا تدوخ هاي هنان جذر 2 ك على ك هاي النسبه او جذر 2 كي على واح ك كذلك صحيح هذا الاي سي اللي يمثل الوتر يعني هذا هو جذر اين ك هسه هاي اطوال الاضلاع والاي بي يمثل الك هذا هو الاي بي طوله ك اذا الاي سي جذر 2 ك والاي بي هذا طوله ك اذا كانه رجع عندي نفس شغلنا بالسؤال الاول راح نطبق فيثاغورس حتى نجد طول الضلع بي سي اذا من مبرهنه فيثاغورس مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين يعني الاي بي تربيع زائد البي سي تربيع يساوي اي سي الكل تربيع هذا شنو الكلام منين هذا مبرهنه فيثاغورس مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين هسه نعوض الاي بي طوله ك او واحد ك هذه ك تربيع زائد البي سي مجهول احنا نريد هذا الضلع المجهول بي سي تربيع يساوي الاي س الوتر اللي هو جذر اين ك الكل تربيع هذا راح يصير ك تربيع زائد البي سي الكل تربيع يساوي جذر اين ك جذر 2 مربع اثنين والك مربعه ك تربيع هسه انا اريد البي سي يعني البي سي تربيع راح يساوي اذا البي سي تربيع يساوي ا ك تربيع ناقص ك تربيع يعني البي سي تربيع راح يساوي اي تربيع باخذ الجذر التربيعي للطرفين اذا طول الضلع بي سي يساوي ك اذا هذا الضلع المجهول طوله هو ك الضلع بي سي طوله هو ك هسه نقدر نجد هذه المطاليب صار عندي المثلث كامل نقدر نجد هذه المطاليب المطلب الاول ساين الاي ساين الاي شنو قانون الساين المقابل على الوتر المقابل على الوتر اذا ا البي سي على الاي س نعوض البي سي اللي هو ك على الاي سي اللي هو جذر اين ك نختصر الك يعني الساين واحد على جذر ا ساين الاي واحد على جذر 2 ضروري جدا حافظين القانون قانون الساين شنو هو المقابل على الوتر ساين الاي المقابل هو البي سي على الوتر اي سي البي سي ك والاي سي الوتر جذ 2 ك نختصر يعني واحد على جذر 2 المطلب الثاني كوتان الزاويه سي الكوتان هو مقلوب التان يعني واحد على تان الزاويه سي تان الزاويه سي هاي الزاويه سي تان السي هو قابل على المجاور يعني اي بي على بي س مقابل الزاويه سي على الضلع المجاور للزاويه سي يعني واحد على اي بي على بي سي راح نقلب هسه راح يصير البي سي على الاي بي او نعوض هنا وبعدين نقلب ايضا صحيح البي سي اللي هو ك على الاي بي اللي هو ايضا ك راح نختصر والناتج هو موجب واحد يعني كوتان السي موجب واحد المطلب الثالث كوسيك الزاويه اي كوسيك الاي الكوسيك هو مقلوب الساين يعني واحد على ساين الزاويه اي كوسيك مقلوب الساين واحد على ساين الاي ساين الاي هذا هسه حسبناه هذا ساين الاي حسبناه ما حاجه نكتب من جديد واحد على بي سي على الاي سي ليش لانه هذا ساين الاي معلوم هذا راح اعوض هنا واحد على واحد على جذر ا مقام المقام يصير بس فراح يصير جذر اين على واحد او بس نكتب جذر ا ليش ما حلت بالتفصيل مثل هذا لانه هذا ساين الاي عندنا معلوم هنا هذا ساين الاي معلوم والمطلب الاخير مطلب الرابع كوساين الزاويه سي كوساين السي المجاور على الوتر المجاور اللي هو بي س على الوتر اللي هو اي س المجاور على الوتر هسه نعوض المجاور هو ك والوتر اللي هو جذر 2 ك نختصر يعني واحد على جذر 2 هذا هو كوساين الزاويه س اول مره نحفظ القانون بالصيغه اللفظيه الكوساين هو المجاور على الوتر يا زاويه السي يعني هذا المجاور اللها لو قلنا لك كوساين الاي هذا المجاور الها اي بي المجاور للاي هو اي بي والمقابل اللها بي سي المجاور للسي هو بي سي هذا الضلع والمقابل للسي هو الاي بي طبعا هنا اختصرنا الك صار عندك واحد على جذر 2 نكرر تنبيهنا لهاي النقطه هذه واحد على ساين الاي ما كتبت بالتفصيل واحد على ساين الاي اللي هو بي سي على الاي سي لانه هذا ساين الاي موجود ها الخطوات يعني ممكن بالامتحان الوزاري او بالشهر يجيني ما يطلب الساين يطلب كوسن الاي فتحل بالتفصيل واحد على ساين الاي اللي هو ساين ساين الزاويه اي بي سي على الاي سي يعني راح يصير هذا نقلب راح يصير اي سي على البي س يعني جذر 2 ك على ك ويصير جذر 2 نفس الطريقه السؤال السابع اثبت ما ياتي كوساين 60 في كوسيك 6 60 زائد ساين 60 في سيكنت ال 60 اسئله الاثبات ممكن ناخذ الطرف الايسر ونوصل الطرف الايمن ممكن الطرفين يكون بهن تبسيط يعني ناخذ الطرف الايسر نجد الناتج ناخذ الطرف الايمن نجد الناتج ونتاكد انه الطرف الايسر مساوي للطرف الايمن لكن هنا الطرف الايمن هو 4 على جذر 3 يعني كل هاي الهوس اللي بجهه اليسار حتما لازم تطلع قيمتها 4 على جذر 3 يعني بس راح ناخذ الطرف الايسر طبعا ممكن تكتب هاي القيم على جهه وبعدين تعوضها او تبدا بالحل مباشر تعوض اذا الطرف الايسر يساوي كوساين 60 هاي من الجدول نكرر هاي تعتمد على الجدول نكرر التنبيه هذا الجدول ضروري تحفظوه لازم هذا حفظ زين والكوت والسيك والكوس كنت ما يحتاج نحفظه لانه مقلوبات هذه النسب يعني السيك مقلوب الكوساين الكوسيك انتتت مقلوب الساين والكوت مقلوب التان هذ تحفظه ذني ينحفظ مباشر ما بن مشكله بس نحفظ صيغه الاساسيه وبعدين نقلب هاي النسب اذا كوساين 60 من الجدول واحد على ا في كوسيك 60 هنا راح وضحها كوسيك ال 60 هو مقلوب ساين 60 واحد على ساين ال 60 ساين ال0 هو جذر 3 على 2 يعني مقلوبه راح يصير 2 على جذر 3 واضح هاي التوضيح هنان منين جبت كوسيك 60 هو مقلوب الساين يعني واحد على ا على جذر 3 يعني يعني واحد على جذر 3 على ا يصير 2 على جذر 3 في 2 على جذر 3ه زائد ساين 60 جذر 3 على 2 في سيكنت ال 60 ايضا هنا نوضح سيكنت ال 60 السيك و مقلوب الكوساين واحد على كوساين 60 كوساين 60 هو واحد على ا اذا مقلوبه راح يصير 2 على واح مقلوبه اين على واحد او بس نكتب الاثنين واضح هذه سيكنت 60 مقلوب الكوساين في 2 على واح ها نختصر هسه الاثنين مع الاثنين وهنا ايضا نختصر الاثنين مع الاثنين اذا شنو اللي راح يصير عندي هنا راح يصير عندي واحد على جذر 3 زائد جذر 3 على 1 1 على جذر 3 زئ جذر 3 على 1 هسه نوحد المقامات المضاعف هو جذر 3 جذر 3 تقسيم جذر 3 1 في 1 1 زئ جذر 3 تقسيم 1 الناتج جذر 3 في جذر 3 3 هنا 1 زد 3 الناتج 4 على جذر الثلا اللي هو نفسه الطرف الايمن وهذا هو المطلوب وهذا هو المطلوب واضح كل هاي الهوسه اللي بالطرف الايسر قيمتها 4 على جذر 3 وتاكد بالتفصيل شلون صارت 4 على جذر 3 اخر خطوه توحيد المقامات المقام الجديد تقسيم القديم والناتج في البسط ايضا هنا المقام الجديد تقسيم القديم والناتج يضرب في البسط الفرع الثاني ساين 45 في سيكنت ال 45 زائد كوسيك ال 45 في ساين ال 45 هذا كله يساوي موجب اين ايضا راح ناخذ الطرف الايسر الطرف الايسر ساين 45 من الجدول حافظين واحد على جذر 2 في سيكنت ال 45 ايضا هنا راح اوضحها سيكنت درجه السيك هو مقلوب الكوساين واحد على كوساين ال 45 درجه كوساين ال 45 واحد على جذر 2 اذا مقلوبه راح يصير جذر 2 على واح يعني واحد على جذر 2 في جذر 2 على واح زائد كوسيك ال 45 ايضا هنا نوضحها كوسيك 45 درجه يعني واحد على ساين ال 45 درجه واحد على ساين ال 45 ساين ال 45 واحد على جذر 2 ومقلوبه راح يصير جذر 2 على 1 المقلوب جذر 2 على واحد اذا كوسيك 45 ايضا هنا جذر 2 على واحد في ساين 45 اللي هو واحد على جذر 2 واضح الخطوه الاولى التعويض السيك انا ما حافظها ما يحتاج احفظها احفظ بس السيك ومقلوب الكوساين كوساين ال 45 واحد على جذ ا يعني مقلوبه جذر 2 على 1 هنا كوسيك ال 45 الكوسيك هو مقلوب الساين يعني واحد على ساين ال 45 ساين ال 45 هو واحد على جذر 2 يعني مقلوبه جذر 2 على واحد هسه نختصر ايضا هاي هنا عندي اختصار راح يصير عندي ها واحد على واح يعني واح زائد واح والناتج ايضا كل هاي القيمه واحد واح زد 1 2 اللي نفسه هذا الطرف الايمن وهذا هو المطلوب اثبتنا انه ساين ال 45 في سيكنت 45 زائد كوسيك ال 45 في ساين ال 45 يساوي 2 ها وضحنا شلون القيمه تطلع نا هنا اثنين وطبعا هنا ممكن بال نكتب ساين ال 45 في واحد على كوساين 45 زائد واحد على ساين 45 في ساين 45 ونعوض ونختصر ايضا او هنا وضحنا هذا التوضيح ايضا مهم حاولوا تكتبوه بالحل