المعادلات رياضيات ثالث متوسط الفصل الأول

بسم الله الرحمن الرحيم الدرس الاول في الفصل الاول من رياضيات الصف الثالث المتوسط المعادلات فيما سبق تعرفنا على العبارات الجبريه وتبسيطها اما في هذا الدرس سنحل معادلات ذات متغير واحد ونحل معادلات ذات متغيرين اول نتعرف على بعض مفردات الدرس الجمله المفتوحه ماذا نعني بالجمله المفتوحه الجمله المفتوحه هي الجمله الرياضيه التي تحتوي على عبارات جبريه ورموز تسمى جمله مفتوحه الجمله المفتوحه اذا احتوت على اشاره المساواه يساوي فانها تسمى معادله لاحظ معي هنا مثلا 3 س + 7 تسمى عباره جبريه لانها تحتوي على عدد وعلى عمليه وعلى متغير لاحظ انها لا تحتوي على اشاره يساوي اذا اضفنا اليها اشاره يساوي ثم عباره جبريه اخرى تصبح معادله المعادله لابد ان تحتوي على اشاره يساوي مساواه بين عبارتين جبريت المعادله يكون لها طرفين طرف ايمن وطرف ايسر يفصل بينهما اشاره يساوي عمليه ايجاد قيمه المتغير تسمى حل الجمله المفتوحه يعني هنا حل المعادله هو ايجاد قيمه س قيمه س او قيم س التي تجعل المعادله الصحيحه تسمى مجموعه الحل المجموعه هي تجمع اشياء او اعداد تكتب غالبا بين القوسين لاحظ قوسي المجموعه بهذا الشكل تكتب الاعداد داخل هذين القوسين ويسمى كل عدد عنصر في هذا الدرس سنت عرف على طريقتين لحل المعادلات الطريقه الاولى استعمال مجموعه التعويض ومعنى مجموعه التعويض هي مجموعه الاعداد التي نعوض بها عن قيمه المتغير لتحديد مجموعه الحل وفي هذه الطريقه استعمال مجموعه التعويض لابد ان يعطيني في السؤال مجموعه التعويض مجموعه مكونه من عده عناصر ونطبق على امثله تحقق من فهمك لحل المعادلات باستعمال مجموعه التعويض اوجد مجموعه الحل لكل معادله فيما ياتي اذا كانت مجموعه التعويض ثم اعطاني مجموعه التعويض ص0 وا 2 3 اذا في طريقه استعمال مجموعه التعويض لابد ان يعطيني مجموعه التعويض مثال واحد الف المعادله 8 م ناقص 7 ي سسا 17 لاحظ هنا المتغير م نعوض عن م في كل مره باحد الاعداد الموجوده في مجموعه التعويض اذا هنا المثال الاول الف هنا المعادله وهنا مجموعه التعويض الافضل لترتيب الحل ان ننش جدول مكون من ثلاثه اعمده في العمود الاول نضع المتغير المتغير في هذه المعادله هو م اذا هنا في العمود الاول م في العمود الثاني نضع المعادله 8 م ناص 7 يسا 17 في العمود الثالث نضع صحيح ام خا ويمكن وضع علام صح اولام خطا الان نبدا التعويض نبدا من العدد صفر اذا في المره الاولى م يساوي صفر ثم نعوض في المعادله بدلا عن م بالعدد صفر فيكون 8 ض 0 - 7 = 17 لاحظ هنا 8 م يعني 8 ض م اذا لم تكتب الاشاره بين العدد والمتغير فهي ضرب الان نوجد قيمه الطرف الايمن 8 ض 0 0 - 7 = 17 لاحظ الان 0 - 7 -7 = 17 الان لدينا عدد واحد فقط في الطرف الايمن وعدد في الطرف الايسر سالب س هل يساوي 17 لا اذا هل م يساوي صفر حل للمعادله لا اذا نكتب هنا خطا الان نعوض بالعدد واحد بدلا عن م اذا م هنا يساوي واحد ثم في نفس المعادله نعوض عن م بالعدد واحد يعني 8 ضرب 1 8 ض 1 ناص 7 يساوي 17 نكمل الطرف الايمن 8 ض 1 يسا 8 ناص 7 يساوي 17 8 نا 7 يساوي 1 هل واح يساوي 17 لا اذا عندما عوضنا عن م بالعدد واحد هل كانت المعادله صحيحه لا اذا هنا ايضا خطا الان ن بالعدد 2 بدلا عن م بالعدد 2 نعوض عن المتغير م بالعدد 2 8 ضرب 2 8 ضرب 2 نا 7 يساو 17 نكمل الطرف الايمن 8 ضرب 2 يسا 16 نا 7 16 نا 7 16 نا 7 يساوي 9 هل 9 يساوي 17 لا اذا عندما عوضنا عن المتغير م بالعدد 2 هل كانت المعادله صحيحه هل تساوى الطرفين لا اذا 2 ايضا ليس حلا للمعادله خطا تبقى في مجموعه التعويض العدد 3 اذا نعوض عن م بالعدد 3 نعوض عن م بالعدد 3 اذا 8 ضرب 3 8 ض 3 نا 7 يسا 17 8 ض 3 2 ناص 7 = 17 24 نا 7 يسا 17 17 في الطرف الايمن و 17 في الطرف الايسر هل تساوى الطرفين نعم هل المعادله صحيحه نعم اذا عندما عوضنا عن المتغير م بالعدد 3 كانت المعادله صحيحه تساوى الطرفين اذا هل ثلاثه هو حل للمعادله نعم اذا نكتب هنا صحيح اذا ما هو حل المعادله م تساوي 3 اذا نكتب مجموعه الحل او يمكن كتابه حا يعني مجموعه الحل تساوي ثم نفتح قوس المجموعه ونضع العدد ثلا ثم نغلق قوس المجموعه اذا مجموعه حل هذه المعادله تساوي 3 مثال واحد الفقره ب المعادله 28 يساوي 4 ضرب 1 3 د اذا هنا المعادله وهنا مجموعه التعويض ايضا لترتيب الحل الافضل ان نرسم جدول مكون من ثلاث اعمده العمود الاول المتغير المتغير في هذه المعادله هو د العمود الثاني المعادله 28 يساوي 4 ضرب 1 ز 3 د العمود الثالث صحيح ام خطا ويمكن استعمال الاشارات صح ام خطا الان نبدا التعويض بدلا عن د نضع صفر اذا نعوض اولا بالعدد صفر المعادله 28 يساوي 4 ضرب 1 3 د 3 د يعني 3 ضرب د يعني ضرب صفر 28 يساوي 4 لاحظ هنا لا يوجد عمليه بين العدد والقوس اذا العمليه عمليه ضرب نضع ضرب تذكر دائما ترتيب العمليات القوس اولا نوجد ناتج العمليات داخل القوس ايضا داخل القوس يوجد جمع وضرب نبدا دائما هنا بالضرب فنكتب واحد كما هو زائد ثم نضرب 3 ض 0 يسا 0 الان 28 يساوي 4 ضرب كما ذكرنا القوس اولا 1 ص0 1 اذا 28 في الطرف الايمن يساوي 4 ضرب 1 يساوي 4 هل الطرفين متساويين هل تساوى الطرفي المعادله لا اذا هل صفر هو حل للمعادله لا ونضع خطا الان نعوض بالعدد الثاني واحد بدلا عن د نضع واح المعادله 28 يساوي 4 ضرب 1 + 3 د يعني 3 ضرب د 3 ض 1 عوضنا عن د بالعدد واح نكمل الحل مع مراعاه ترتيب العمليات 28 يساوي 4 ضرب اولا العمليات داخل القوس 1 + 3 ضرب 1 نبدا بالضرب اذا واحد كما هو زائد 3 ض 1 3 ثم نغلق القوس الان 28 في الطرف الايمن يساوي 4 ضرب نوجد العمليه داخل القوسين 1 3 4 الان 28 يساوي 4 ض 4 يسا 16 هل 28 يسا 16 لا اذا اذا هل واحد حلا للمعادله ايضا لا نضع خطا الان نعوض بالعدد اثنين بدلا عن د هنا 2 في نفس المعادله 28 يساوي 4 ضرب القوس 1 + 3 ض د يعني 3 ض 2 نكمل مع مراعاه ترتيب العمليات 4 ضرب ما بداخل القوس 1 + 3 ض 2 الضرب قبل الجمع 1 + 3 ض 2 = 6 28 يسا 4 ضرب ما بداخل القوس 1 + 6 = 7 28 في الطرف الايمن يساوي 4 ض 7 في الطرف الايسر 28 هل تساوى الطرفين طرفي المعادله نعم اذا هل العدد اين هو حلا للمعادله نعم اذا هنا صح لاحظ الان وصلنا الى الحل الحل هو العدد اثنين يمكن اكمال التعويض ويمكن التوقف والافضل التوقف ونكتب مجموعه الحل حل المعادله حا يساوي ويمكن كتابه مجموعه الحل حا يساوي ثم نضع قوس المجموعه والحل العدد اثنين ثم نغلق قوس المجموعه الطريقه الثانيه لحل المعادلات هي استعمال ترتيب العمليات هنا نذكر بترتيب العمليات او اولا الاقواس نوجد ناتج العمليات داخل الاقواس ثانيا القوى نوجد ناتج القوى القوى او الاسس ثالثا الضرب والقسمه من اليمين الى اليسار اذا كان في اليمين ضرب نبدا بالضرب واذا كان في اليمين قسمه نبدا بالقسمه رابعا الجمع والطرح ايضا من اليمين الى اليسار اذا كان في اليمين جمع بالجمع واذا كان في اليمين طرح نبدا بالطرح اذا هذه ترتيب العمليات يجب تذكرها دائما ونطبق على تحقق من فهمك اثنين لحل المعادله باستعمال ترتيب العمليات ما حل المعادله ت يساوي 9 تربيع تقسيم 5 ناص 2 ثم اعطاني خيارات اذا نحل المعادله باستعمال ترتيب العمليات ثم نختار الاجابه الصحيحه اذا هنا المعادله وهنا ترتيب العمليات اولا الاقواس هل يوجد اقواس نعم اذا نبدا بالاقواس ت يساوي 9 تربيع تقسيم ثم نوجد ما بداخل الاقواس 5 - 2 = 3 الان هل تبقى هنا اقواس لا ننظر للقوى هل يوجد قوى قوه او اسس نعم لاحظ هنا 9 تربيع اذا ت يساوي اولا نوجد 9 تربيع ما معنى 9 تربيع يعني 9 ض 9 مرتين 9 ض 9 81 ثم نكتب تقسيم 3 اذا ت يساوي 81 ت 3 الناتج 27 يمكن القسمه ذهنيا او استعمال القسمه المطوله لاحظ 8 ت 3 كم يوجد 3 في 8 يوجد ين 2 اذا اخذنا من 8 اخذنا 3 مرتين يعني 6 يتبقى 2 وهنا واح يعني 21 نقسم 21 تقسي 3 = 7 اذا ت يساوي 27 هو حل المعادله نعود للخيارات لاحظ 27 الفقره د اذا هو حل المعادله بعض المعادلات لها حل وحيد كما في المعادلات السابقه وبعض المعادلات لا حل لها ليس لها حل وبالتالي نرمز لعدم وجود الحل بالرمز فاي اذا لم يكن يوجد للمعادله حل نكتب مجموعه الحل تساوي فاي بهذا الشكل ونطبق على امثله تحقق من فهمك حل كلا من المعادلتين الاتيتين مثال 3 ا المعادله 18 + 4 + م يسا 5 - 3 ض م اذا هنا المعادله لاحظ معي ان المتغير م يوجد في طرفي المعادله في الطرفين نبسط كل طرف باستعمال ترتيب العمليات والخصائص لاحظ هنا يوجد اقواس وعمليه جمع اذا نبدا بالاقواس 18 + 4 = 2 22 + م يساوي الطرف الايسر عباره عن قوس وعمليه ضرب هنا عمليه ضرب اذا لم يوجد بين المتغير والقوس عمليه ف العمليه عمليه ضرب اذا نبدا بالقوس 5 ناص 3 يساوي 2 2 ضرب م ايضا حل اخر يمكن ان نوزع الضرب على الطرح يعني نضرب م في 5 ثم نضرب م في 3 اذا الطرف الايمن 22 زائد م الطرف الايسر 2 ضرب م يعني 2 م لاحظ ان معامل المتغير مختلف في الطرفين هنا مم واحده فقط وهنا 2 م اذا لحل المعادله يمكن ان ننقل مم الى الطرف الاخر بعكس الاشاره او ان نطرح ميم من الطرفين اذا ننقل ميم الى الطرف الاخر بعكس الاشاره هنا موجبه تصبح سالبه فيتبقى في الطرف الايمن 22 يساوي 2 م ننقل م الى الطرف الايسر بعكس الاشاره يعني ناقص م الان 22 في الطرف الايمن يساوي 2 م ناص م يعني ناص 1 م يتبقى م اذا قيمه م تساوي 22 وهو حل المعادله نقرا من اليسار من طرف المتغير م تساوي 22 اذا حل هذه المعادله حل وحيد لها حل الوحيد اذا نكتب مجموعه الحل ح تساوي ثم نفتح قوس المجموعه ونضع 2 ونغلق قوس المجموعه مثال 3 ب هنا المعادله المطلوب حل المعادله لاحظ يوجد المتغير كف في طرفي المعادله نستعمل ترتيب العمليات لحل المعادله اولا الطرف الايمن يوجد عمليات ضرب وعمليه جمع الضرب اولا قبل الجمع اذا نضرب 8 ض 4 32 32 ضرب كف يعني كف زئ ثم نجري عمليه الضرب الاخرى 9 ض 5 يساوي في الطرف الايسر اقواس وعمليه ضرب وعمليه طرح الاقواس اولا ثم الضرب ثم طرح القوس الاول 36 - 4 يعني 32 32 ض ك هنا عمليه ضرب اذا 32 ض ك يعني 32 ك ناقص القوس الاخر 2 ض 5 10 الان لاحظ معي الطرفين معامل المتغير ك في الطرف الايمن 32 وايضا في الطرف الايسر 32 متساوي 32 ك وهنا 32 ك لكن هنا في الطرف الايمن + 45 وفي الطرف الايسر سالب 10 هل 45 = س-1 لا من المستحيل ان يتساوى 45 و10 45 اكبر من س-1 لذلك لو عوضنا بدلا عن كف باي عدد لا يمكن ان تكون المعادله صحيح سيبقى الطرف الايمن اكبر من الطرف الايسر غير مساوي له اذا هنا نقول المعادله ليس لها حل فنكتب حل المعادله حا يساوي المجموعه الخاليه فاي او نكتب المعادله ليس لها حل ايضا لدينا في هذا الدرس المتطابقات ماذا نعني بالمتطوعين المتغير فيها متطابقه يعني ان المتطابقه هي معادله طرفاها متكافئان دائما مثلا هذه المعادله لاحظ معي في الطرف الايمن 6 ه + 12 كذلك في الطرف الايسر 6 ه + 12 هذه تسمى متطابقه وحل المتطابقه دائما هو مجموعه الاعداد الحقيقيه اي متطابقه يكون حلها مباشره مجموعه الاعداد الحقيقيه ونطبق على تحقق من فهمك حل كلا من المعادلتين الاتيتين مثال 4 اف المعادله 3 ضرب ب + 1 - 5 يسا 3 با ناص 2 اذا هنا المعادله لاحظ يوجد المتغير ب في طرفين نحل المعادله باستعمال ترتيب العمليات والخصائص في الطرف الايمن يوجد عمليه ضرب ويوجد اقواس ويوجد طرح نبدا بالاقواس لكن هنا في الاقواس يوجد متغير زائد عدد لا نستطيع الجمع لذلك نوزع الضرب على الجمع العدد ثلاثه خارج القوس مضروب في القوس فنضرب ثلاثه في جميع الحدود داخل القوس توزيع الضرب على الجمع بهذا الشكل ث ض ب ا 3 ض 1 3 ض ب = 3 ب زائد العمليه داخل القوس 3 ض 1 = 3 ثم نكمل ناقص 5 الطرف الايسر 3 با ناص 2 كما هي 3 ب ناص 2 في الطرف الايمن جمع وطرح لكن لا نستطيع الجمع مع المتغير لذلك نطرح هنا 3 ب كما هي + 3 ونا 5 الاشارات مختلفه ناخذ اشاره الاكبر ناقص ثم نطرح الكبير ناقص الصغير اذا اختلفت الاشارات ناخذ اشاره الاكبر ثم نطرح الاكبر ناقص الاصغر 5 - 3 2 يسا في الطرف الايسر 3 با نا 2 لاحظ معي الطرفين 3 با ناص 2 و 3 با ناص 2 الطرفين متساويين متكافئين يعني لو عوضنا عن با باي عدد من الاعداد الحقيقيه ستكون المعادله صحيحه لذلك هذه المعادله تسمى متطابقه طرفاها متكافئان ومجموعه الحل تساوي مجموعه الاعداد الحقيقيه اذا اذا كانت معادله متطابقه طرفاها متكافئان فان حل المعادله هو مجموعه الاعداد الحقيقيه مثال اربعه الفقره ب المعادله 5 - نص ض ج - 6 = 4 نحل المعادله باستعمال ترتيب العمليات لاحظ العمليات في الطرف الايمن عمليه طرح وهنا بين الكسر والقوس لا يوجد عمليه اذا العمليه عمليه ضرب ثم الاقواس دائما نبدا بالاقواس لكن هنا الاقواس تحتوي على متغير ناقص عدد لا نستطيع الطرح اذا نستعمل خاصيه توزيع الضرب على الطرح يعني نضرب سالب نصف في الحدود داخل القوسين اذا نكتب 5 هنا الكسر سالب نصف سالب نصف ضرب ج يساوي سالب نصف ج سالب نصف ضرب ج ثم سالب نصف ضرب سالب س ضرب سالب س سالب ضرب سالب موجب ونصف ضرب 6 يعني نصف 6ه 3 يساوي في الطرف الايسر 4 هنا المتغير سالب نص ج يمكن ان نجمع الاعداد 5 + 3 = 8 اذا 8 ثم ناقص نصف ج ويمكن ان ننقل 5 وثلا الى الطرف الايسر بعكس الاشاره اذا 8 ناص نصف ج يساوي في الطرف الايسر 4 لحل هذه المعادله نجعل المتغير في طرف والاعداد في طرف اذا ننقل ثمانيه الى الطرف الايسر بعكس الاشاره او نطرح ثمانيه من الطرفين فيتبقى هنا سالب نصف ج يساوي 4 ثم ننقل 8 الى الطرف الايسر بعكس الاشاره يعني سالب ث في الطرف الايمن سالب نصف ج يساوي في الطرف الايسر 4 ناص 8 هنا الاشاره موجبه وهنا سالبه ناخذ اشاره الاكبر سالبه اشاره العدد يه ثم نطرح الكبير ناقص الصغير 8 ناص 4 4 اذا اختلفت الاشارات ناخذ اشاره الاكبر ثم نطرح الكبير ناقص الصغير لحل المعادله نريد فقط معامل ج هو سالب نصف للتخلص من الكسر دائما نضرب في المقام المقام سالب ا اذا نضرب في سالب ا في الطرفين للتخلص دائما من الكسر نضرب في المقام في الطرفين فنحذر سالب اين مع سالب اين في المقام يتبقى واح ج فقط هنا ج يساوي سالب ا ضرب سالب ا سالب ضرب سالب موجب و 4 ض 2 8 في عمليه الضرب اذا تشابهت الاشارات فان الناتج موجب سالب ضرب سالب موجب ثم 4 ضرب 2 8 اذا حل المعادله ج يساوي 8 ويمكن ان نكتب مجموعه الحل ح يساوي المجموعه 8 اذا حلول المعادلات في هذا الدرس ينقسم الى ثلاثه اقسام اما ان يكون الحل وحيد حل واحد او ان تكون المعادله ليس لها حل فيكون حلها فاي المجموعه الخاليه او ان تكون المعادله متطابقه فيكون حلها مجموعه الاعداد الحقيقيه هنا مساله تحقق من فهمك خمسه يقود رامي سيارته بمعدل 104 كي متر في الساعه اذا هنا السرعه نرمز لها بالرمز ع السرعه 10 4 ك في الساعه اكتب معادله المطلوب كتابه معادله انشاء معادله وحلها لايجاد الزمن المطلوب الزمن الزمن نرمز له بالرمز ز وهو المطلوب لايجاد الزمن الذي سيستغرقه للسفر مسافه 312 كل هنا المسافه ف تساوي 312 كيل متر اذا المطلوب الزمن ولدينا السرعه والمسافه هذه المساله من مسائل الحركه وسبق ان درسنا مثلث الحركه مقسم الى ثلاث اجزاء بهذا الشكل في الاعلى المسافه ف والى اليمين السرعه ع ثم الزمن ز المطلوب هنا الزمن اذا الزمن يساوي المسافه تقسيم السرعه الزمن يساوي المسافه تقسيم السرعه يعني زا يساوي المسافه ف تقسيم السرعه ع نعوض عن المسافه ب 312 وعن السرعه ب 104 ونوجد الزمن اذا لايجاد الزمن زا كما في المثال نعوض عن المسافه ب 312 تقسيم نعوض عن السرعه ب 10 اربعه 3122 تق 104 = 3 اذا زا يساوي 3 اذا الزمن الذي سيستغرقه للسفر يساوي ثلاث ساعات للفائده مثلث الحركه مثلث مقسم الى ثلاثه اجزاء في الاعلى المسافه نرمز لها بالرمز ف او م وفي الاسفل السرعه والزمن السرعه نرمز لها بالرمز ع والزمن بالرمز زا او نون هنا عمليه قسمه وهنا عمليه ضرب فلو اردنا المسافه المسافه نقول تساوي السرعه ضرب الزمن ولو اردنا السرعه نقول تساوي المسافه تقسيم الزمن ولو اردنا الزمن نقول يساوي المسافه تقسيم بسرعه