زوايا المضلع الدرس كامل رياضيات أول ثانوي 2 1

زوايا المضلع الفصل الدراسي الماضي نصه راح واحنا نتكلم عن المثلث تكلمنا عن تطابق المثلثات وانواع المثلثات ونظريات كثيره عن المثلث وقلنا ان المثلث مهم لانه اساس الاشكال الهندسيه الاخرى في هذا الفصل احنا نبغى ندرس المضلعات المختلفه بس عشان ندرسها حنقسمها المثلثات عشان تسهل علينا يعني تعال نشوف هذا المضلع الرباعي نقدر نقدر نقسمه لكم مثلث لمثلثين طب نشوف الخماسي نقدر نقسمه لكم مثلث ثلاث مثلثات والسداسي نقدر نقسمه الاربع مثلثات لاحظت العلاقه الشكل الرباعي اللي له اربع اضلاع قسمناه لمثلثين والخماسي اللي له خمسه اضلاع قسمناه لثلاثه مثلثات والسداسي اللي له ست اضلاع قسمناه الى اربع مثلثات يعني عدد المثلثات اللي يحتويها المضلع يساوي عدد الاضلاع ناقص ا نقدر نكتبها انه عدد المثلثات يساوي عدد الاضلاع خلينا نسميه ان مثلا ناقص ا يعني لو قلت لك عندنا سباعي يعني له سبعه اضلاع حتقول لي انه عدد المثلثات حيكون 7 - 2 يعني خمسه مثلثات تعال نجربها نرسم المثلثات حنلاقيها هذا واحد هذا الثاني هذا الثالث هذا الرابع هذا الخامس خمسه مثلثات صحيح الكلام ده مهم جدا لانه حيسهل علينا دراسه المضلعات احنا درسنا المثلثات في الفصل الماضي وفهمناها تمام يصير عشان ندرس المضلعات نقسمها المثلثات وبدراسه هذه المثلثات يصير احنا قدرنا ندرس المضلع تعال نشوف مثلا هذا المضلع خماسي نبغى نوجد مجموع زواياها الداخليه يعني مجموع قياس الزاويه زائد قياس الزاويه زائد قياس الزاويه زائد قياس الزاويه دي زائد قياس الزاويه اي كيف نجيبها؟ اول شيء نقسم المثلثات حيصير عندي ثلاثه مثلثات احنا نعرف ان مجموع الزوايا الداخليه للمثلث يساوي 180 درجه صحيح يصير الخماسي كم مجموع قياس زوايا داخليه حنضرب عدد المثلثات في 180 درجه يعني هنا عندنا ثلاث مثلثات كل مثلث مجموع زواياه الداخليه يساوي 180 درجه يعني مجموع قياس الزوايا الداخليه للخماسي حيساوي 3 في 180 اللي هي 540 درجه تعالوا نشوف شكل ثاني السباعي مثلا المضلع اللي له سبعه اضلاع اول شيء نقسم المثلثات عدد المثلثات هنا حيساوي كم؟ حيساوي عدد الاضلاع نا 2 يعني 7 نا 2 اللي هي 5 ولو رسمنا المثلثات حنلاقي الكلام ده صحيح هذه خمس مثلثات طيب وكل مثلث عندنا مجموع قياس زواياه يساوي 180 درجه يصير مجموع قياس الزوايا الداخليه للسباعي حيساوي 5 في 180 يعني 900 درجه يعني من تجاربنا البسيطه دي نقدر نطلع بالنظريه لايجاد مجموع قياسات الزوايا الداخليه لاي اي مضلع يعني الخماسي ده مثلا مجموع قياس زوايا كيف نجيبه؟ اول شيء نجيب عدد المثلثات الداخليه اللي هو حيكون ان نا وبعدها نضرب عدد المثلثات في 180 درجه ويطلع معان مجموع قياس الزوايا الداخليه لاي مضلع هنا الخماسي حيكون 5 - 2 يعني 3 في 180 اللي هي 540 درجه طب نقدر نطبق النظريه دي على اي مضلع ي نقدر بس في شرط واحد هو ان يكون المضلع محدب يعني ايش محدب يعني بدي الطريقه كل الاضلاع متجهه الى الخارج وما يكون مقعر مقعر يعني ما يكون في من اضلاعه متجه الى الداخل بدي الطريقه لو كان المضلع مقعر ما نقدر نطبق عليه هذه النظريه لازم يكون محدد وبس خلينا نعيد النظريه لو كان عندنا مضلع محدب يعني كل اضلاعه متجهه الى الخارج نقدر نجيب مجموع قياس زواياه الداخليه باننا نجيب عدد المثلثات الداخليه اللي هي ان ناضربها في 180 درجه اللي هو مجموع زوايا المثلث يصير عندنا مجموع الزوايا الداخليه للمضلع المحدد خلينا نحل مثال هنا بيقول اوجد مجموع قياسات الزوايا الداخليه للساعي المحدد هذه تطبيق تطبيق مباشر للنظريه احنا قلنا انه مجموع قياس الزوايا الداخليه للمضلع حيساوي عدد المثلثات مضروب في 180 درجه او ان نا 180 نعوض عن ان بعد الاضلاع اللي هو سبعه وصار عندي 7 - 2 في 180 درجه يعني 5 في 180 اللي هي 900 درجه ولو جينا نبغى نتاكد نرسم سباعي ونقيس زواياه مثل ما هو موجود هنا وبعد بعدها هان اجمع الزوايا جميعا 140 درجه + 145 + 128 + 130 + 136 + 134 + 87 درجه نجمعها يطلع الناتج 900 درجه فسؤال بيقول اوجد قياسات جميع الزوايا الداخليه للرباعي المجاور يعني هنا يبغاني اجيب قياسات الزوايا الداخليه يعني هذه الزوايا طيب الزاويتين دي معطيني اياها قياساتها حتكون 90 درجه والزاويتين الباقيه قال لي واحده منهم اكس والثانيه 3ثه اكس طيب كيف نجيبها نحن نعرف انه مجموع الزوايا الداخليه للرباعي حيكون كم حسب النظريه حيكون ان نا 180 هنا عدد الاضلاع اربعه نعوض يصير عندي 4 - 2 في 180 يعني 2 في 180 اللي هي 360 درجه يعني مجموع الزوايا الداخليه للرباعي حيساوي 360 درجه يعني لو جيت هنا كتبت قياس الزاويه زائد قياس الزاويه زائد قياس الزاويه زد قياس الزاويه دي يعني مجموع قياسات الزوايا الداخليه حيساوي 360 درجه طيب نعوض عندنا الزاويه قياسها 3 اكس والزاويه 90 درجه والزاويه Cي قياسها 90 درجه والزاويه دي قياسها اكس هذا كله يساوي 360 درجه نحل المعادله نبسط نجمع الاكس مع بعض صار عندنا 4 اكس نجمع 90 مع 90 صارت عندي 180 هذا كله يساوي 360 درجه نطرح 180 من الطرفين وصارت عندي 4 اكس تساوي 180 نقسم الطرفين على اربعه وصار عندي الاكس تساوي 45 درجه صارت عندي قيمه الاكس بس انتبه مو هذا المطلوب المطلوب عندنا قياسات الزوايا الداخليه طيب يصير نعود عوض قياس الزاويه اي حيصير 3 اكس يعني 3 في 45 درجه اللي هي 135 درجه قياس الزاويه دي حيكون اكس يعني 45 درجه قياس الزاويه وسي واضح انه 90 درجه تب تتاكد من حلك اجمع قياسات الزوايا والمجموع لازم يكون 360 درجه طيب نشوف نجمع 135 + 45 + 90 + 90 لو جمعناه معناها هنا حنشوف ان الناتج هو 360 درجه يصير حلنا صح فارس السؤال بيقول اوجد مجموع قياسات الزوايا الداخليه للثماني المحدب خلينا نرسم الثماني المحدب طيب كيف نجيب قياسات الزوايا الداخليه نطبق القاعده ان نا 180 درجه ان اللي هي عدد الاضلاع يعني يصير عندي 8 - 2 في 180 يعني 6 في 180 اللي هي 1080 درجه لكن فرضا انت نسيت القانون كيف تتصرف؟ بسيطه تقسم المضلع الى مثلثات يعني نجي من ذ النقطه ونرسم هذا القطر بعده هذا وهذا وهذا وصار عندي سته مثلثات وانت تعرف انه كل مثلث مجموع قياس زواياه الداخليه يساوي 180 درجه يصير صير مجموع قياسات الزوايا الداخليه للثماني حيكون 6 في 180 يعني 1080 درجه ثاني السؤال بيقول اوجد قياسات جميع الزوايا الداخليه للخماس المجاور طيب خلينا نشوف الخماس المجاور بعض الزوايا معلومه وبعضها مكتوب بدلاله الاكس ومجموع قياسات الزوايا الداخليه ممكن نجيبه نطبق القانون ان نا 2 في 180 الان عندي بخمسه يعني 3 في 180 اللي هي 540 درجه وهذا مجموع قياسات الزوايا الداخليه جميعها يعني نكتب قياس الزاويه اتش زائد قياس الزاويه جي زائد قياس الزاويه زائد قياس الزاويه ال زائد قياس الزاويه ام حيساوي 540 درجه نعوض قياس الزاويه hش عندي با 2 اكس قياس الزاويه جي ب 142 42 قياس الزاويه با 2 اكس قياس الزاويه ال اللي هو 3 اكس زائد 14 زائد قياس الزاويه ام برضه 3 اكس زائد 14 هذا كله يساوي 540 درجه نحل المعادله نبسط نجمع الاكسات مع بعض اثين اكس مع اثنين اكس صارت اربع اكس مع 3 اكس صارت سبعه اكس وثلاثه اكس صارت 10 اكس نحطها هنا وبعدها 142 + 14 + 14 حتساوي 170 هذا كله يساوي 540 درجه نطرح 170 من الطرفين صارت عندي 10 اكس تساوي 370 درجه نقسم الطرفين على 10 وصارت الاكس تساوي 37 طب هل هذا هو المطلوب الاكس لا المطلوب هنا قياس الزوايا الداخليه يصيرني اجيبها قياس الزاويه اتش حتساوي 2 في اكس يعني 2× 37 اللي هي 74 درجهه هيي نفسها قياس الزاويه ك قياس الزاويه ام حيكون 3 في 37 14 يعني 125 درجه وهي نفسها قياس الزاويه ال يعني الزاويه صارت 74 درجه و74 درجه 125 درجه و 125 درجه واذا تب تتاكد انه حلك صح تجمع الزوايا كلها المجموع لازم يساوي 540 درجه اللي هو مجموع زوايا الخماسي اللي جبناه بالقانون خلينا نجمع ونشوف 142 درجه + 74 درجه + 74 درجه + 125 درجه + 125 درجه ونحسبها بالاله الحاسبه حنلاقيها 540 درجه يعني حلنا صح زوايا المضلع المضلع طلع المنتظم منتظم يعني ايش؟ يعني مرتب يعني جميع الاضلاع متطابقه وجميع الزوايا متطابقه يعني هذا الشكل مثلا خماسي منتظم كل الاضلاع متطابقه وكل الزوايا متطابقه واححنا نعرف ان الخماسي مجموع قياس زواياه الداخليه حيساوي كم؟ حيساوي خمسه اللي هو عدد الاضلاع نا 2 في 180 يعني 3 في 180 اللي هي 540 درجه لكن احنا نعرف عرف انه جميع الزوايا متطابقه يعني مجموع قياس الزوايا حيساوي خمسه في قياس اي واحده من هذه الزوايا الزاويه اي مثلا وهذا حيساوي 540 يصير قياس الزاويه اي حيساوي 540 على 5 يعني 108 درجات يعني كل زاويه من زوايا الخماسي المنتظم حيكون قياسها 108 درجات وهذا حينطبق على كل الخماسيات المنتظمه مهما اختلفت اطوال اضلاعها قياس كل زاويه من زواياها حيكون 108 درجات خلينا نحل السؤال على الكلام ده في المنظر العلوي للمظله المجاوره تشكل الاعمده رؤوس مضلع سداسي منتظم اوجد قياس الزاويه التي تتشكل عند اي من اركان المظله يعني قال لي انه هذا الشكل سداسي منتظم يعني اضلاعه وزواياه متطابقه يبغى مني اوجد قياس الزاويه عند ركن المظله يعني الزاويه الداخليه طيب تعال نفكر فيها سوا قال لي الشكل سداسي يعني مجموع قياس الزوايا الداخليه حيساوي ان نا 2 في 180 ال هنا حتساوي 6 يعني حيصير عندي مجموع قياس الزوايا الداخليه يساوي 4 في 180 يعني 720 درجه هذا مجموع قياس كل الزوايا لكن هو قال لي في السؤال انه مضلع سداسي منتظم يعني جميع الزوايا متطابقه يعني نقدر نقول انه سته في قياس الزاويه الداخليه نسميها واحد مثلا حيساوي 720 درجه يعني قياس الزاويه الداخليه حيساوي 720 على 6 اللي هو 120 درجه يعني اي وحده من هذه الزوايا قياسها حيساوي 120 درجه ناخذ مثال ثاني ف السؤال يقول اذا كان قياس الزاويه الداخليه لمضلع منتظم يساوي 135 درجه فاوجد عدد اضلاعه هنا اعطاني الزاويه الداخليه ويبغى مني اوجد عدد الاضلاع حلو طيب تعالوا خلينا نفكر فيها شوف هو هنا قال لي انه المضلع منتظم يصير كل زواياه حيصير قياسها 135 درجه نفس القياس لو ما كان المضلع منتظم يصير مستحيل احل السؤال ده لكن هنا المضلع منتظم طيب يعني لو ضربت عدد الاضلاع خلينا نسميه ان في قياس الزاويه اللي هي 135 درجه حيعطيني مجموع قياس الزوايا الداخليه طيب مجموع قياس الزوايا الداخليه ايش هو؟ احنا نعرف انه عباره عن ان نا 180 درجه وصارت عندي هذه المعادله نحلها نوزع اول شيء الضرب على الجمع يصير عندي 135 درجه في ان يساوي 180 درجه في ان ناقص 360 درجه نطرح 180 ان من الطرفين يصير عندنا ناقص 45 درجه في ان يساوي ناقص 360 درجه نقسم الطرفين على ناقص 45 درجه وصار عندي ان يساوي 8 يعني عدد اضلاع المضلع يساوي 8 فهذا السؤال بيقول لي اوجد قياس الزاويه الداخليه لسجاد على شكل ثماني منتظم طب هنا يبقى قياس الزاويه الداخليه يعني واحده بس مو مجموع قياسات الزوايا الداخليه بس قال لنا ان المضلع منت منتظم يعني جميع الزوايا متطابقه طيب احنا نعرف ان مجموع قياس الزوايا الداخليه حيساوي ان نا 180 درجه ال ان هنا ب 8 تصير 8 - 2 في 180 يعني 6 في 180 درجه اللي هي 1080 درجه هذا مجموع قياسات الزوايا الداخليه كلها والان المضلع منتظم يعني جميع الزوايا متطابقه يصير قياس زاويه داخليه واحده حيكون 1080 على 8 يعني 135 درجه وهذا هو قياس الزاويه الداخليه للثماني المنتظم اي ثماني منتظم حتكون زاويته الداخليه قياسها 135 درجه ف السؤال بيقول لي تزين النوافير في الاماكن العامه ويقام بعضها على شكل مضلعات منتظمه اوجد قياس الزاويه الداخليه لنافور على شكل تساعي منتظم يعني يبقى قياس الزاويه الداخليه اللي تساعي منتظم بسيطه احنا نعرف انه مجموع قياسات الزوايا الداخليه للتساعي حيكون ان نا 2 في 180 الن هنا ب 9 يعني 7 في 180 درجه يعني 1260 درجه طيب ولان هذا تساعي منتظم يعني جميع الزوايا متطابقه يصير قياس زاويه واحده حيكون 1260 على 9 يعني 140 درجه وهذا هو قياس الزاويه الداخليه اللي تساعي منتظم. السؤال بيقول اذا كان قياس الزاويه الداخليه لمضلع منتظم يساوي 144 درجه فاوجد عدد اضلاعه. هنا اعطاني قياس الزاويه الداخليه لمضلع منتظم اللي هي 144 درجه ويبغى عدد الاضلاع. طب خلينا نفكر فيها سوا. زاويه واحده قياسها 144 درجه طيب مجموع قياس الزوايا الداخليه حيكون كم؟ حيكون ان اللي هو عدد الاضلاع مضروب في 144 درجه احنا برضه نعرف انه مجموع قياسات الزوايا الداخليه هو ان نا 180 درجه يعني المقدارين دي تساوي بعض يصير نكتب المعادله 144 اضرب في ان يساوي ان - 2 في 180 درجه ونحل المعادله نوزع الضرب على الجمع تصير المعادله 144 ان يساوي 180 نا 360 باستخدام خاصيه التوزيع بعدها نطرح 180 ان من الطرفين وصار عندي ناقص 36 ان يسا ناقص 360 بعدها نقسم الطرفين على نا 36 عشان تطلع طلع قيمه ال اللي حتصير ان يساوي 10 يعني عدد اضلاع هذا المضلع يساوي 10 اضلاع يعني حيكون عشاري منتظم زوايا المضلع مجموع قياسات الزوايا الخارجيه للمضلع طيب شفنا زوايا المضلع الداخليه خلينا نشوف الخارجيه اول شيء خلينا نفهم يعني ايش زاويه خارجيه هي ببساطه الزاويه نجي على الضلع ونمده على الجانب ونحصل على الزاويه الخارجيه بس نمد الضلع من جانب واحد فقط يعني لا تمد الضلع على الجانبين بهذه الطريقه وتقول لي هذه زاويتين خارجيه خطا يمد الضلع من جهه واحده فقط نعمل نفس الشيء مع هذا الضلع وهذا وهذا وخلينا نسمي هذه الزوايا زاويه واحد وزاويه اثنين وزاويه ثلاثه وزاويه اربعه طيب الزوايا الخارجيه دي كم حيكون قياسها؟ نظريه تقول انه مجموع قياسات الزوايا الخارجيه للمضلع المحدب دائما يكون 360 درجه يعني هنا قياس الزاويه واحد زائد قياس الزاويه اين زائد قياس الزاويه ثلاثه زائد قياس الزاويه اربعه حيكون 360 درجه والكلام ده ينطبق على اي مضلع يعني لو اخذنا المضلع الخماسي ورسمنا الزوايا الخارجيه حنلاقي انه مجموع قياسات الزوايا يعني قياس الزاويه واحد زائد قياس الزاويه اثنين زائد قياس الزاويه ثلاثه زائد قياس الزاويه اربعه زائد قياس الزاويه 5 حيساوي 360 درجه ايا كان المضلع المجموع يساوي 360 درجه وخلينا نحل سؤال على الكلام ده فسؤال بيقول لي اوجد قيمه اكس في الشكل المجاور نلاحظ هنا انه اكس موجوده في الزوايا الخارجيه للمضلعنا نعرف انه مجموع قياسات الزوايا الخارجيه للمضلع حيتساوي 360 درجه يصير نكتب المعادله حيصير عندنا 2 اكس ناقص 5 + 5 اكس زائد 2 اكس زائد 6 اكس ناقص 5 زائد 3 اكس زائد 10 يساوي 360 درجه نحل المعادله نجمع الاكسات مع بعض صير عندي 2 اكس زائد 5 اكس زائد 2 اكس زائد 6 اكس + 3 اكس ناقص 5 - 5 + 10 = 360 نبسط الناتج يصير 18 اكس يساوي 360 نقسم الطرفين على 18 وصارت الاكس تساوي 20 وهذا هو المطلوب فاني السؤال بيقول اوجد قياس الزاويه الخارجيه للتساعي المنتظم هنا قال لانه المضلع تساعي منتظم يعني كل اضلاعه وزواياه متطابقه ويبغى الزاويه الخارجيه وبما ان المضلع منتظم يصير حتى الزوايا الخارجيه حتكون متطابقه برضه يصير لو افترضنا انه الزاويه الخارجيه قياسها يساوي اكس يصير 9 في اكس حيساوي 360 درجه نقسم الطرفين على 9 صير الاكس حتساوي 40 درجه يعني الزاويه الخارجيه في التساعي المنتظم حتساوي 40 درجه في هذا السؤال بيقول اوجد قيمه اكس في الشكل المجازور طيب نشوف الشكل المجازور ده مضلع محدب غير منتظم ونلاقي انه الاكس موجوده في قياس الزوايا الخارجيه نحن نعرف انه مجموع قياسات الزوايا الخارجيه لمضلع محدب حيساوي دائما 360 درجه مهما كان هذا المضلع صير نقدر نكتب 6 اكس 9 اكس زائد 2 اكس + 139 = 360 درجه نحل المعادله نجمع الاكسات مع بعض وصار عندي 6 + 9 + 2 يعني 17 اكس 139 يساوي 360 درجه نطرح 139 من الطرفين وصار عندي 17 اكس يساوي 221 درجه نقسم الطرفين على 17 وصارت الاكس تساوي 13 اوجد قياس الزاويه الخارجيه لمضلع منتظم ذي 12 ضلعا يعني عندنا مضلع له 12 ضلع ومنتظم يعني كل الاضلاع متطابقه وكل الزوايا متطابقه وبرضه حتكون كل الزوايا الخارجيه متطابقه طب عندي كم زاويه خارجيه؟ عندي 12 زاويه خارجيه مجموع قياسها حيكون 360 درجه يعني نقدر نقول انه 12 في اكس اللي هي قياس الزاويه الخارجيه حيساوي 360 درجه نقسم الطرفين على 12 وصارت عندي الاكس تساوي 30 درجه يعني قياس الزاويه الخارجيه لمضلع ل 12 ضلعا يساوي 30 درجه بسم الله الرحمن الرحيم