المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد رياضيات 6

المتجهات في الفضاء الثلاثي الابعاد لو رسمنا مربع شوف هذا مربع مسطح له وبعدين هذا البعد الاول وهذا البعد الثاني حتى لو رسمنا مثلا مثلث بعدين هذا بعد وهذا بعد يعني تقدر تفهمها كانه لا هو طول وعرض برده لما كنا نشتغل في المستوى الاحداثي كنا نقول هذا المستوى الاحداثي كنا نقول هذا الاكس وهذا الواي برضو بعدين بعد اكس لكن حقيقي الاشياء ما هي مسطحه ما لها بعدين بس لها ثلاثه ابعاد يعني مثلا لو اخذنا الكتاب على سبيل المثال شوف الكتاب لا هو طول وعرض وارتفاع هذه السماكه نسميها ارتفاع يصير له ثلاثه ابعاد طول وعرض وارتفاع ومثله كل الاشياء اللي في عالمنا وزي ما رسمنا المستوى الاحداثي للاشكال ثنائيه الابعاد حنرسم المستوى الاحداثي للاشكال ثلاثيه الابعاد شوف احسن طريقه هذه ابعاد ثلاثه عرض الغرفه طول الغرفه وارتفاع الغرفه هنزل هذا الاحد اللي هو بين الارض وبين هذا الجدار و نسميه محور اكس وهنجري هذا الحته اللي بين الارض وبين هذا الجدار نرسم خط ونسميه محور واي شوف يعني كان الارض هي صارت المستوى الاحداثي اكس واي مستوى الثنائي الابعاد اللي اخذناها اول طيب صار عندنا الارض هو اكس واي لكن احنا نبغى بعد ثالث الارتفاع لحد الفاصل بين هذا الجدار وهذا الجدار نرسم عليه خط ونسميه محور زد وصارت عندي ثلاثه بعد اكس واي اللي هم يمثلوا المسطح بعدين الارتفاع بس في حاجه لازم ناكد عليها هنا زي ما كنا نعرف انه محور اكس عمودي على محور واي زي ما كنا ناخذ في المستوى الاحداثي ثنائي الابعاد يعني نيجي هنا ونحط علامه التعامل بنفس الطريقه محور الواي هيكون عمودي على محور الزد يعني نيجي بينهم ونحط هذه العلامه برده محور الاكس هيكون عمودي على محور الزد هنيجي بينهم ونحط هذه العلامه مره ثانيه عشان تفهم المستوى الاحداثي دايما تفكر في الغرفه الغرفه لو طلعت فيها هتلاقي ان الجدار عمودي على الارض والجدار الثاني الغرفه برده متعامدين على بعض طبعا خلي بالك المحاور اللي رسمناها هي المحاور الموجبه يعني هذا الاكس الموجب وهذا محور الواي الموجب وهذا محور الزد الموجب لكن احنا زي ما نعرف انه في الجزء الثالث وهذا صار عندي المستوى الاحداثي الثلاثي الابعاد طيب كيف نمثل نقطه في المستوى الثلاثي الابعاد احنا في المستوى الثنائي الابعاد كنا نكتب النقطه على صوره اكس واي هذا كان في الثنائي الابعاد لكن انا عندي هنا ثلاثي ابعاد يصير لازم نضيف البعد الثالث اللي هو الزيت يعني هيكون عندي النقطه اكس واي زد تقدر تفكر فيها انها طول وعرض وارتفاع طب كيف نمثل النقطه خلينا نشوف في المثال تعين نقطه في الفضاء كلهم من نقطتين الاتيتين في النظام الثلاثي الابعاد واول نقطه اعطاني اياها هي النقطه اربعه سته اثنين اربعه سته اثنين طيب خلينا نمسك الاكس 4 نيجي على محور الاكس الموجب نعد واحده اثنين ثلاثه اربعه يعني نقطه 12 هنا حلو طيب والواي الواي عندنا سته وحده اثنين ثلاثه اربعه خمسه سته هنيجي عند النقطه اكس باربعه ونرسم مستقيم موازي لمحور الواي بهذه الطريقه يعني النقطه هتكون على هذا المستقيم ونجيب من عند واي سته اللي عيناها ونرسم مستقيم موازي للاكس بهذه الطريقه احداث الاكس باربعه احداث الواي بسته لو وقفنا هنا نقطه في المستوى الاحداثي اكس واي زي اللي كنا ناخذها اول يعني النقطه هتكون على الارض لها بعدين فقط طيب الزيت كيف نمثلها نجي من النقطه اللي عليناها وهنطلع لفوق وحده ثانيه لانه الزد اللي هي الارتفاع طبعا لازم يكون موازي للمستقيم زد يصير انا اجي على هذا النقطه وارسم مستقيم موازي لمحور الزفت طلوع هيكون على هذا المستقيم وحدتين وصارت عندي هذه هي النقطه المطلوبه اللي هي اربعه سته اثنين اتخيلها كانه هذه هي الارض عندنا هذه النقطه على الارض وبعدين طلعنا فوق هذا النقطه وحدتين وصارت هذه نقطه نشوف النقطه اللي بعدها ناقص اثنين واربعه ناقص خمسه الان هنرسم مستقيم موازي لمحور الواي يمر بهذا النقطه وبعدين من عند الواي باربعه نرسم مستقيم موازيه لمحور الاكس ونقطه تقاطع المستقيمان حتكون هي النقطه -2 و4 وهذه هي النقطه اللي على الارض على المستوى الاحداثي اكس واي بس انا عندي احداث السته اللي هو ناقص خمسه لازم امشي على محور الزبده السالب خمسه واحده انزل على هذا المستقيم 5 وحدات اهلين اوصل للنقطه المطلوبه صارت هذه هي عند النقطه -2 و4 وسالب خمسه هتكون تحت النقطه اللي كانت على المستوى بالضبط هنا برضه يبغاني اعين النقاط على المستوى الاحداثي الثلاثي الابعاد واول نقطه -3 -4 -2 مره ثانيه عندنا هذه اكس وهذه واي وهذه زد طيب عندنا الاكس بسالب ثلاثه نيجي على محور الاكس ناحيه الاكس السالب نمشي وحده اثنين ثلاثه الاصل نمشي ناهد محور السالب وحده اثنين ثلاثه اربعه يوصل هنا يصير من هذا النقطه نرسم مستقيم موازي للواي ومن هذا النقطه نرسم مستقيم موازي للاكس ونقطه التقاطع هتكون النقطه ناقص ثلاثه ونقص اربعه طيب هذه رسمناها في بعدين اللي هو المستوى الاحداثي اكس واي اللي هي زي ما قولنا هتكون على الارض لو تخيلنا انه المستوى الثلاثي الابعاد غرفه هذه هذه النقطه هتكون على الارض بس انا عندي احداثي يزيد لهذا النقطه يعني عندي ارتفاع وزيد هنا باتمان محور الزد وعلى هذا المستقيم حنمشي وحدتين للاعلام هنوصل للنقطه اللي نبغاه وهذه هي النقطه سالب ثلاثه سالب اربعه واثنين طيب نشوف النقطه اللي بعدها عند ثلاثه اثنين ناقص ثلاثه نقطه الاصل ونمشي على محور الاصل واحد اثنين ثلاثه الان من هنا ارسل مستقيم موازي لمحور الواي ومن هنا ارسم مستقيم موازي لمحور الاكس ونقطه التقاطع هي النقطه ثلاثه واثنين اللي هي النقطه اللي هتكون على الارض بس انا عندي احداث الزد صار اجي على هذا النقطه وارسم مستقيم موازي لمحور الزد يمر في هذا النقطه وحانزل وحده اثنين ثلاثه والواي باثنين والزد بناقص ثلاثه طيب نشوف النقطه اللي بعدها عندي خمسه وناقص اربعه ونقص واحد طيب نمسك الاكس نيجي على محور الاكس ونمشي واحده اثنين ثلاثه اربعه خمسه نوصل هنا والواي عندي بسالب اربعه السالب نمشي وحده اثنين ثلاثه اربعه الان نرسم من هذا النقطه مستقيم موازن محور الواي ومن هذا النقطه نرسم مستقيم موازي لمحور الاكس نقطه التقاطع هي هتكون خمسه وناقص اربعه لكن هذه النقطه على الارض المستوى الاحداثي اكس واي بس انا عندي احداث للزد يصير اجي على هذا النقطه وارسم مستقيم موازن محور الزد وانزل وحده وحده وسالب واحد صيغتا المسافه ونقطه المنتصف في الفضاء لما كان عندنا محور اكس واي وكانت عندنا نقطتين او قطع مستقيمه نبغى نجيب طولها يعني نفرض مثلا هذا النقطه كانت اكس 1 واي 1 وهذه النقطه كانت اكس تو واي تو كيف كنا نجيب طول هذا القطعه كنا نجيبها عن طريق استخدام القانون الجذر التربيعي لفرج احداثيات الواي تربيع يعني وايد اثنين ناقص واي واحد تربيع زائد فرق احداثيات الاكس تربيع يعني اكس اثنين طيب الثلاثه الا بعد هذا القانون ايش هيكون يعني مثلا لو كانت عندي نقطتين يعني هذا النقطه احداثياتها اكس واحد واي واحد وزد واحد وعندي هذه النقطه مثلا احداثيات اكس اثنين واي اثنين زد 2 كيف اجيب طول هذا القطاع تستخدم نفس القانون الجذر التربيعي فرق احداثيات الوايت احداثيات الاكس تربيع اضيف عليها نفس القانون الاول مجرد اضفت عليه فرق احداثيات الزيت تربيع يعني زد 2 ناقص واحد طيب عرفنا الطول كيف نجيب نقطه المنتصف في المستوى الاحداثي اكس واي كنا نقول نقطه المنتصف ام نجمه احداثيات الاكس يعني اكس واحد زائد اكس اثنين ونقسمها على اثنين طيب هذه هي نقطه المنتصف في المستوى الاحداثي اكس واي طيب نقطه المنتصف في الفضاء ثلاثي الابعاد اكس واي زد ايش تتوقع نفسها نقطه المنتصف هتكون احداث الاكس نجمع الاكس مع الاكس ونكسم الاثنين يعني هتكون اكس واحد زائد اكس اثنين على اثنين احداث الواحد يكون اجمل احداثيات الوعي واقسمها على اثنين يعني واي واحد زائد واثنين على اثنين وحدات الزيت هيكون نفس الشيء نجمع زد واحد زائد اثنين على اثنين يعني نكتب زيد واحد زائد اثنين على اثنين بس هذه هي نقطه المنتصف في الفضاء او اكس واي بس اضفنا عليها الزيت خلينا نشوف مثال على هذا الكلام فين السؤال اللي قلت تتحرك العربه على سلسله مشدوده تربط بين منصتين تسمح للمتنزهين بالمرور فوق مناظر طبيعيه خلابه اذا مثلا من نقطتين 10 و12 و50 و 70 92 30 وكانت الاحداثيات المعطاه بالاقدام فاجب عما ياتي واول مطلوب طالبه يقول لي اوجد طول السلسله اللازمه للربط بين المنصتين طيب قبل ما نبدا نحل خلينا نفهم يقول لي تتحرك العربه في الشكل المجاور على اساس انه مشدوده تربط بينه من الستين لو شفنا الشكل نلاقي هذا المنصتين وبينهم سلسله مشدوده طيب بعد كده يقول لي اذا مثلت منصتين بالنقطتين اعطاني النقطتين يعني هذه النقطه احداثياتها هي هذه وهذه النقطه احداثياتها هي هذه كيف جاب الاحداثيات شوف الارض افترضها اكس واي بعدين الارتفاع هو الزاد عشان كده تلاقيه شوف المنصه الاولى ارتفاعها 50 قدم اللي هو احداث الزد والمنصه الثانيه شوف ارتفاعها 30 اللي هو بعد كده عند الاكس واي اللي هو محداثياتهم على الارض طيب فهمنا السؤال ايش المطلوب هو يبغى طول السلسله اللازمه للربط بين المنصتين يجيبها اعطاني احداثيات النقطتين نقدر نجيب المسافه عن طريق قانون المسافه في الفضاء الثلاثي الابعاد يعني حنستخدم صيغه المسافه صيغه المسافه ايش تقول الجذر التربيعي فك احداثيات الاكس تربيع زائد فرق احداثيات الواي تربيع طبعا احنا لما كتبنا القانون كتبنا احداثيات الواي الاول بعدين احداثيات الاكس بس هنا ما تفرق العمليه جمع يصير ممكن تبدل بينه طيب احداثيات هذه هي صيغه المسافه طبقها على النقطتين نفترض هذه النقطه واحد وهذه النقطه الثانيه طول السلسله حيساوي الجذر التربيعي اطرح اكس اثنين ناقص اكس واحد يعني 70 ناقص عشره الكل تربيع اثنين ناقص واحد يعني 90 ناقص 12 سالب 20 تربيع وادي هتساوي نحسبها بالاله الحاسبه الناتج هيطلع تقريبا 101 فاصله 98 وهذا هو طول السلسله طيب هنا يقول لي اوجد احداثيات منتصف المسافه بين هذه النقطتين كيف هنجيبها قانون نقطه المنتصف اللي احنا عارفينه اللي هو احداث الاكس هيكون نجمه اكس واحد زائد اكس اثنين نقسمها على اثنين على اثنين والزيت هيكون زد واحد زائد زد 2 برده على اثنين اكس واحد زائد اكس اثنين اللي هي 10 زائد 70 على اثنين عادي وهي واحد زائد واحد اثنين يعني هتكون 92 زائد 12 على اثنين واحد يكون 50 زائد 30 على اثنين هذه هتساوي عشره زائد 70 82 فيها 40 و 92 12 فيها 52 زائد 30 ب 80 على اثنين فيها اربعين وهذه هي نقطه المنتصف لو انت متاكد منها شوف هذه ارتفاعها 50 قدم وهذا ارتفاعها 30 في النصف بينهم الارتفاع هيكون تقريبا 40 وهذا صحيح هذا اللي جبناه بالحساب تقريبا نفس الشيء الوحيد 92 125 طيب نشوف هذا السؤال هنا يقول لك تفرض انظمه السلامه ان لا تقل المسافه بين الطائرات عن نص ميل اثناء الطيران فاذا علمت ان طائرتين طيران فوق احد المناطق وفي لحظه معينه كانت احداثيات موقعي الطائرتين واعطاني هذا الاحداثيات مع العلم ان الاحداثيات معطاه بالاقدام فاجب عما ياتي هل تخالف الطائرتان انظمه السلامه يعني هو قال لي انه المسافه بين الطائرات لازم ما تقل عن نصف ميل اثناء طيرانها طيب ممتاز وبعدين قال لي في طائرتين احداثيات موقعهم هذه الاحداثيات يبقى يعرف هل تخالفان انظمه السلامه يعني بالعربي يبغى يعرف المسافه بينهم هل هي اقل من نصف ميل او لا يعني لازم نقيس المسافه بين هذه النقطتين عشان نعرف هل هي تقلع النصفي الاول بس انتبه شوف هنا الوحده مين المسافات اللي اعطاني اياها بالاقدام طيب خليني اجل اجيب المسافه بين الطائرتين بالاقدام بعدين احولها بالميل قانون المسافه بين نقطتين زي ما نعرف الجذر التربيعي هنجيبه هنا على طول فرق احداثيات الاكس اجل خلينا نكتبها 450 ناقص 300 الكل تربيع زائد احداثيات الواي نكتبها سالب 250 ناقص 150 الكل تربيع زائد فرق احداثيات الست اللي هو 28,000 ناقص 30 الف الكل تربيع خلينا نطلعها بالحاسبه مره واحده اول شيء نضغط على زر الجذر اللي هو الجذر التربيعي الان ندخل تحت الجذر نبدا من هنا نفتح القوس نكتب 450 ناقص 3 00 ونقفل القوس ونضغط هذا الزر اللي هو التربيه وبعدين زاد ونفتح خاص ونكتب هذا الرقم سالب 250 ناقص 150 ونقفل القوس ونضغط تربيع يعني افتح القوس 28,000 ناقص 30 الف ونكسر القوس ونضغط التربيع نضغط يساوي طلع لي هذا الناتج اللي هو 2045 وايش الوحده تكون لا تنسى اعطاني نقاط بالقدم يصير هذه وحدتها قدم طيب نحن نبغى نعرف هل الطائرتين مخالفه لانظمه السلامه لو رجعت للتحويل هتلاقي انه واحد ميل يساوي 5000 و280 قدم هذا هو التحويل انا عندي 2045 قدم يعني هنا نكتب 2045 قدم وابغى اعرف كم تساوي بالميل بسيطه يستخدم ضربه معلم يعني نضرب واحد في 2045 ونقسم على 528 احسبها بالحاسبه هتطلع فاصله ثلاثه تسعه ميل تقريبا يعني هذا المسافه بين الطيارتين بالميل لكن انظمه السلامه تقول لازم على الاقل بينهم نصف ميل لكن بعد هذه الطائرتين اقل من نصف ميل يصير الطائرتين مخالفتين لانظمه السلامه لان المسافه بينهم اقل مطلوب الثاني يقول لي اذا اطلقت العاب ناريه وانفجرت في منتصف المسافه بين الطائرتين فما احداثيات نقطه الانفجار يعني يبغاني اجيب نقطه المنتصف بين الطائرتين نقطه المنتصف هتكون نجمه احداثيات الاكس على اثنين يعني 450 زائد 300 على اثنين واحداث الواي هيكون نجمه واي واحد زائد وايد اثنين على اثنين يعني 250 + 150 على اثنين احداث الزد حيكون زد واحد زائد اثنين على اثنين يعني 28000 زائد 30,000 على اثنين ونحسبها هتطلع احداث الاكس هيكون واحداث الواوي هيكون ناقص 50 واحداث الزد هيكون 29000 المتجهات في الفضاء المتجهات اللي شفناها في المستوى هنحطها في الفضاء الثلاثي الابعاد اول في المستوى الثنائي الابعاد او المستوى الاحداثي اكس واي كنا نقول عشان يكون المتجه في الوضع القياسي نبدا من نقطه الاصل ونرسم بهذه الطريقه اذا كانت هذه النقطه اكس واحد واي واحد كنا نقول انه هذا المتجه صوره الاحداثيه متجه اكس واحد واي واحد نفس الشيء حنسويه في الفضاء ثلاثي الابعاد عشان يكون المتجه في الصوره القياسيه هنبدا من نقطه الاصل ونرسم المتجه بهذه الطريقه لو كانت هذه النقطه هي اكس واحد واي واحد زد واحد يصير هذا المتجه هيكون الصوره الاحداثيه له حط قوس المتجه اكس واحد واي واحد زد واحد نفس الشيء وهنا المتجه الصفري كانت صورته 0 0 هو متجه ماله طول ولا يتجاه وهنا هيكون المتجهه الصفري صورته 0 0 ولا اتجاه وهنا كانت عندي متجهات الوحده على محور اكس هذا اللي كان طوله واحد يعني هذا النقطه كانت واحد صفر وسمناها المتجه وصوره الاحداثيه واحد صفر وبردو كان عندنا متجه الوحده على محور الواي برده كان طوله واي يعني هذا النقطه احداثياتها 0 1 وبالصور الاحداثيه صوره الاحداثيه صفر واحد هنا برده هيكون عندنا نفس الشيء على محور اكس هيكون عندنا متجه وحده هذه النقطه ايش هتكون احداثياتها هتكون احداث الاكس بي واحد والوايب 0 والزيت بصفر يصير هذا المتجه يسميه اي صوره الاحداثيه واحد وصفر وصفر بنفس الطريقه على محور الواي عندي متجه الوحده يعني طول واحد هذا النقطه هتكون احداثياتها صفر واحد صفر والصور الاحداثيه حتكون صفر واحد وصفر هي نفسها اللي في المستوى الاحداثي بس اضفنا احداث الزد وهنا برده هيكون عندنا على محور الزيت متجه الوحده وهنا هنسميه صوره الاحداثيه حتكون 0 0 1 طيب لو كان عند المتجهه في اللي نكتب على الصوره الاحداثيه في 1 فيتو كيف كنا نكتب على الصوره التوافقيه اللي فيها اي يو جي كنا نكتب المتجه فيها يساوي بعدها نقول زائد وناخذ مركبه اللي هي في اثنين هنضربها في جي نفس الشيء حنسويه هنا عندي هذا المتجه صوره الاحداثيه في واحد في اثنين في ثلاثه عشان نكتب على الصوره التوافقيه هيصير في واحد مركبه الاكس نضربها في اي زائد مركبه الواي اللي هي في اثنين زائد مركبه الزيت اللي هي في ثلاثه نضربها في كي طيب خلينا نشوف تعيين متجه في الفضاء فين السؤال يقول لي مثل بيانيا كل من المتجهين الاتيين في نظام الاحداثيات الثلاثي الابعاد واول متجهه اعطاني اياه ثلاثه اربعه سالب 2 زي ما عرفنا انه هذه مركبه الاكس وهذه مركبه الواي وهذه مركبه الزيت صار اول شيء نعين النقطه ثلاثه واربعه والسالب 2 بعد ما نعين النقطه هذه نقدر نرسم المتجه طيب واحد اثنين ثلاثه من هذه النقطه نرسم موازي للواي والنجم من عند الواي اربعه ونرسم موازي للاكس وتقاطعهم هو النقطه 43 لكن عند الزد سالب يصير من هذه النقطه ارسم مستقيم موازي للزد وانزل عليه وحدتين وهذه صارت النقطه ثلاثه واربعه وسالب اثنين هذه النقطه بس انا ابغى المتجه عشان ارسم المتجه اروح من نقطه الاصل ارسم خط الى النقطه اللي رسمتها وهذا صار المتجهه فيه نشوف المتجه اللي بعده اعطاني هذا المتجه في صوره التوافق الخطي اربع اي زائد 3 جي زائد كي طيب يعني النقطه حق هذا المتجهه تكون اربعه وثلاثه وواحد امثل هذا النقطه بعدين اوصل من نقطه الاصل الى نقطه واحصل على المتجه عند الاكس باربعه اجي على محور الاكس امشي اربعه وحدات اوصل هنا والواجب الثلاثه وحدات وارسم موازي من هنا وارسم موازي من هنا يوصل النقطه لكن عندي زيت بيه واحد يصير نيجي على هذا النقطه واطلع واحده واحده باتجاه موازنه واوصل هنا وصارت عند النقطه اللي هي اربعه ثلاثه واحد هذه النقطه انا ابغى المتجه صار اجي من عند نقطه الاصل واوصل الان النقطه اللي رسمتها وهذا صار المتجه بي طيب امثل المتجهات بيانيا في الفضاء الثلاثي الابعاد اعطاني اول شيء هذا المتجه طيب هذا المتجه ايش النقطه حتكون ناقص اربعه واثنين وناقص ثلاثه واي واثنين من هنا ونرسم مواز من هنا وبعدين عند الزبده ناقص ثلاثه لازم انزل تحت واحده ثانيه وحدات واحد اثنين ثلاثه واوصل لهذا النقطه وهذا النقطه اللي هي ناقص اربعه واثنين وناقص ثلاثه بس انا ابغى المتجه يصير اروح من نقطه الاصل واوصل الان النقطه اللي رسمتها هو ممكن يقول لك على الرسمه انه على محور واي بس هو لا خلف محور الواي نازل على تحت عشان تتخيلها شوف زي ما قلنا انه هذه هي الارض اكس واي هي الارض واليو نازل لتحت بس احنا عشان طالع فيه من فوق فهو مبين كانه على الواي طيب نشوف اللي بعدها اعطاني هذا المتجه اجيب النقطه تكون ناقص واحد ناقص ثلاثه واربعه امثلها اكسب ناقص واحد ناقص واحد بعدين عندي واي بسالب ثلاثه وحدات وارسم الموازي وارسم الموازي من هنا من نقطه التقاطع هذه ناقص واحد ناقص ثلاثه واربعه بس انا ابغى المتجه يصير اجمل نقطه الاصل نرسم المتجه الى النقطه اللي وجدناها وهذا صار المتجه المطلوب الاسم المتجه دبليو