رياضيات ثالث متوسط وح 4 د 4 الدائرة الزاوية المركزية أنظر الوصف

السلام عليكم ورحمه الله تعالى وبركاته ابنائي وبناتي طلاب الصف الثالث المتوسط معكم الدكتور صلاح الدين عمر عبد الله باذن الله تعالى واواصل معكم في شرح مقرر الرياضيات لهذه مرحل وفي هذه الحصه نواصل في الوحده الرابعه وحده الدائره ودرسنا هو الدرس الرابع الزاويه المركزيه الزاويه المركزيه ان شاء الله هي حتكون موضوعنا لهذه الحصه ونبه الطلاب لوجود عدد من الحصص السابقه بالنسبه لهذه الوحده وايضا جميع الوحدات هذا المقرر موجود على هذه القناه اذا اتمنى لكم متابعه طيبه باذن الله تعال طيب زي ما قلنا موضوعنا ان شاء الله حيكون هو الزاويه المركزيه وعشان نتعرف على الزاويه المركزيه اولا لدينا نشاط بسيط جدا في هذا النشاط ارسم دائره مركزه م عايزين نرسم دائره مركزه م تحديدا طيب ننظر مع بعض لهذه الدوائر هذه الدائره الاولى مركزها هنا م ايضا لدينا دائره اخرى هنا مركزه م ولدينا دائره ثالثه ايضا مركزه هنا م طيب الان لدينا ثلاث دوائر طيب من خلال هذه الدوائر الثلاث عايزين نتعرف على الزاويه المركزيه عايزين نتعرف على الزاويه المحيطيه وايضا على القوس المنشا عليه هذه الزوايا اذا لو قمنا على هذه الدوائر حددنا يعني النقطه ان قالل حدد على الدائره القوس ال ود طيب بعد اقول القوس ال د مع على دوائر لان هملا دوائر مجرد نماذج بالنسبه للزاويه المركزيه اذا هنا لو اخدنا القوس عندنا الف د ب اذا الف د ب هذا عباره عن قوس هذا عباره عن القوس الره الثانيه الف ود وبا ايضا هذا عباره عن غوز الدائره الثالثه الف ود وبا ايضا هذا عباره عن القوس اذا قدرت احدد الاقواس بالنسبه لهذه الدوائر الثلاث النقطه الثانيه ارسم زاويه مركزيه اللي هو سميها ا م ب على القوس د ب طيب زاويه مركزيه معناها هي زاويه دايما بتكون راسها على المركز يعني اي زاويه مركزيه لازم يكون راس الزاويه على المركز الدائره طيب لو اخدنا الدائره الاولى انا عندي ا م ب ا هذه ا ومي وباء بهذه الصوره منشاه على هذا القو اللي هو ا د ب اذا هذه الزاويه مركزيه هذه تعتبر زاويه مركزيه نفس الصوره الثانيه عندي ا م ب اذا هذه الزاويه مركزيه منشا على هذا القوس يبقى هذه ايضا مركزيه طيب الداده الثالثه ال ومي وباء ا ومي ب ايضا هذه هي الزاويه المركزيه هذه ايضا مركزيه منشا على نفسها هذا القوس اللي هو ا د ب ا د ب اذا هذه هي النقطه الثانيه بعد ما رسمنا الدائره حددنا مركزه حددنا القوس حددنا الزاويه المركزيه النقطه الثالثه اللي هو عايزين نرسم ارسم زاويه محيطيه ا ج ب ا ج على القوس ا د يعني عايزين زاويه محيطيه على نفس القوس على نفس القوس اللي رسمنا فيه الزاويه المركزيه اذا هنا نسميها زي ما واضح ال ج اذا ا وجي وبا هذه زاويه محيطيه وايضا عرفنا انه الزاويه المحيطيه هي بتكون زاويه منشاه لكن راس الزاويه بيكون على محيط الدائره راس الزاويه بيكون على محيط الدائره اذا هذه هي زاويتنا المحيطيه مقارنه بالمركزيه الاثنين منشات على نفس القوس طيب ا ج ب هذه الزاويه المحيطيه في الدائره الثانيه لدينا الزاويه المحيطيه هنا ا ج ب ايضا هذه الزاويه محيطيه على الدائره الثالث اذا حددنا الزاويه المحيطيه في الدائره الاولى والثانيه والثالثه طيب الخطوه الخامسه لو عملنا مزاله قياس قاللي قس الزاويه ا م ب ا م ب اللي هي الزاويه المركزيه والزاويه ا ج ب هي الزاويه محيطيه عايزين نعمل مساله قياس بيناتهم ثم قارن بينهما ماذا تلاحظ طبعا هنا اول ما انا اجي ابدا اقيس المفروض اقيس هذه الزوايا باستخدام المنقله يبقى لو قسهم بالمنقله بتكون هنالك في ملاحظه ونحنا عايزين نصل لهذه الملاحظه اذا من خلال القياس عايزين نصل لنقطه مهمه جدا اللي هي عباره عن نصا رياضيا يعبر عن النتائج التي تحصلت عليها تمام يعني مجرد ما انت تقيس الزاويه المركزيه الزاويه المحيطيه بنصل لنتيجه من خلال هذه النتيجه بتوصلنا لنص مهم جدا هذا النص اللي هو يوصلنا لنص النظريه اذاما يمكننا التوصل للاات طبعا هذا من ناتج التجربه او النشاط اللي هي بنسميها النظريه خامسه النظريه الخامسه بتقول ان الزاويه المركزيه الزاويه المركزيه تساوي ضعف الزاويه المحيطيه المنشاه معها على نفس القوس تمام نعم اذا الزاويه المركزيه هي دائما ضح الزاويه المحيطيه المنشا معها على القوس نفسه بمعنى انه الزاويه المحيطيه يعني هي دائما بتكون نص للزاويه المركزيه يعني هنا بنقول ضعف يعني المركزيه هي ضعف المحيطيه والمحيطيه هي يعني نصف الزاويه المركزيه اذا من هنا عاين نصل ل برهان هذه النظريه البرهان الرياضي عايزين نثبت ب ان الزاويه المركزيه تساوي ضعف الزاويه المحيطيه المنشاه مها شرطه اساسي هي على نفس الغوز اذا لو قمنا مثلا نركز مع بعض في هذه الدائره فيها معطيات اللي هو عندي زاويه محيط وزاويه مركزيه لو اخذت الدائره هذه ا ومي وباء هذه تعتبر زاويه مركزيه يعني هذه بنسميها زاويه مركزيه والف وجي وباء هذه الزاويه تسما قلنا زاويه محيطيه الاثنين منشد على نفس القوس اللي هو ا د و وباء ا ودال وباء هذا عباره عن نفس الغوز اذا من هنا لو اخذنا اولا كمعطى عندي المعطى القوس ا ود وبا قوس في دائره الدائره مركزها م ا ود وبا في دائره والدائره شرطها الاساسي انه مركزها هو الم المي طيب قمنا حددنا هذه الجيم نقطه على باق من محيط الدائره يعني على اي نقطه من محيط الدائره حددنا هذه النقطه وسميناها ج يبقى من هنا عندنا زاويتين زاويه مركزيه وزاويه محيطيه قلنا وعل نفس القوس يبقى لو حددنا الزاويه ا وميم وبا الف ال م ب قلنا هذه عباره عن الزاويه المركزيه اللي هي على القوس ا ود ا ود وايضا عندي الزاويه ا ج ب الزاويه ا وج وبا هي الزاويه محيطيه على نفس القوس ا د ب ا ج ب هي زاويه محيطيه ايضا على نفس القوس تمام اذا هنا دي كلها تعتبر معطيات معطاه زاويه مركزيه زاويه محيطيه حددنا القوس اللي هو الف ودال وبا ومركز هذه الدائره طيب عايزين نصليه انه الزاويه ال ومي وبا ا ومي وب هي ضعف ا ج ب ا ج ب ضعفها يعني مضروبه في 2 اذا هنا زي ما قلنا المطلوب اثباته عايزين نثبت انه زاويه ا م ب اللي هي الزاويه المركزيه تساوي لي اين من ا ج ب اللي هي الزاويه المحيطيه تمام هذا هو اللي احنا عايزين نصل طيب عشان نقوم نثبت هنا لابد من نعمل بعض الاجراءات يعني هذا هو هذه الزاويه الاولى مركزيه ومحيط هنقوم نعمل نوصل اللي هو الخط بالنسبه لنا يعني نوصل ج م مع بعض ثم نعمل لهم امتداد اذا وصلنا ج م هنا يعني الحاجه اللي نضيفه من عند عشان نثبت بها هيكون عندي صل م ج نوصل م ج هنا كده تمام وده طبعا عايزين نصل عشان نصل لتطابق مثلثات ونعمل امتداد ليضا اللي هو م ج الى نصل عند هذه النقطه اللي هي نسميها ح اذا الان بيكون صنعوا لي مثلثين لاحظ معاي هنا عندي مثلثين اللي هو حيكون المثلث الاول من هنا هذا مثلث ا م ج ومثلث اخر ب م ج اذا حسع لمطابقه هذه المثلثات مع بعض ومن هنا عشان نبرهن لنفس الدائره اولا حيكون عندي زاويتنا اللي هي زاويه ج ال م الف م هذه الزاويه تساوي لي زاويه ال ج م تمام لاحظ معاي الف يعني هذه الزاويه ج مع الف م بتساوي لنا الزاويه الف ج م الزاويتين ددي بيساوي بعض ليه بساوي بعض لانه هذا عباره عن نصف قطر وهذا نصف قطر الاتنين بيساوي بعض بما انه بساوي بعض معناه هذا المثلث هو باعتباره مثلث متساوي الساقين واي مثلث متساوي الساقين الزاويتين بيكونوا مصنوعين على القاعده بتساوي بتساوي هذه نظريه هذه نظريه سابقه اذا الان الزاويه ال هذه بتساوي لنا الزاويه ج تمام نعم وايضا لدينا الزاويه ال مها الف م ه الف م هذه الزاويه هذه الزاويه هذه الزاويه تعتبر زاويه خارجيه بالنسبه لهذا المثلث اذا الزاويه الخارجيه هي رياضيا بتساوي لي مجموع الزاويتين هما الاخريات المجاوره ولذلك ح تساوي لي حاصل جمع الزاويه الف مع الزاويه لانه هذه تعتبر زاويه خارجيه اذا زاويه الف م هذه الزاويه قلنا الخارجيه تساوي مجموع الزاويتين اللي هما بالنسبه داخلتين بالنسبه للمثلث ععد المجاوره اذا هتساوي ل الزاويه ج زائدا ج ا م يعني هذه الزاويه وهذه الزاويه لو جمعتهم مع بعض حساوي لي هذه الزاويه اعتباره عباره عن زاويه خارجيه بالنسبه لهذا المثلث اللي هو ا م وج اذا من هنا هصل لنقطه مهمه انه الزاويه ا م بتساوي لي اين من ا ج م ا ج م ليه لانه الاثنين دول بيساوي بعض اصلا طالما هم بيساوي بعض لو سميت هذه س معنا هذه س عشان كده بتساوي لك ا س يعني الزاويه ا م ه هذه الزاويه بتساوي اثنين منه تساوي اين منه طيب الكلام ده بالنسبه للمثلث الاول طيب نفس الكلام هنطبق في المثلث الثاني يبقى مثلث متساوي الساقين اذا الزاويتين ديل حساوي بعض اذا الزاويه هذه تعتبر زاويه خارجيه لو سميت هذا ص وهذا ص يبقى الزاويه الخارجيه هذه بتساوي اين ص بتساوي اين ص واضحه يا شباب يعني هذه النقطه اذا بالطريقه نفسها بنجد انه زاويه ب م ه ب م ه هذ قلنا الزاويه خارجيه بتساوي لنا اثنين من ب ج ب ج م يعني هذه هي بتساوي اثنين منها هذه بتساوي اثنين مننا طيب الان عندي معادلتين هذه الاولى وهذه الثانيه لو الاثنين جمعناهم مع بعض لو جمعتهم مع بعض معناها هنا حيقوم يوصلني لنقطه تانيه بجمع واحد وثنين اذا لو اخدنا هذا الطرف اضيفه لهذا الطرف تمام يعني الزاويه ا م ه زائدا هذه الزاويه ب م تتساوي ا من الزاويه الاولى زائد ا من هذه الزاويه اذا ا زاويه م زائد 2 م هي م يعني هذه الزاويه وهذه الزاويه وكل واحده بتساوي اثنين منهم لانه زي ما قلنا هذه تعتبر زاويه خارجيه لهذا المثلث وايضا هذه الزاويه خارجيه بالنسبه لهذا المثلث اذا من هنا طالما جمعتهم الاثنين مع بعض اللي هي ا م ه وبا م ه تساوت اثنين من هذه اذا من هنا انا ممكن اخذ الاثنين بالنسبه لي عامل مشترك لانه الاثنين بيشبهوا بعض اذا بما انه الزاويه ال ومي وه ا م ه زائدا ب م ه هذه تساوي لي ا م ب يعني الاثنين مع بعض يعني هذه الزاويه زائد هذه الزاويه تديني هذه الزاويه الكليه هذه الزاويه الكبيره تمام لانه جمعنا الخارجيه الاولى والخارجيه شنو الثانيه ادوني الزاويه الاكبر اللي هي الالف وميم وبا ا م ب اذا من هنا خلاص بنكون وصلنا لانه ال ج م ا ج م ز ب ج م الاثنين هيساوي ا ج ب ا ج ب يعني جمعنا الزاويتين دول مع بعض جمعناهم الاتنين مع بعض ولذلك من هنا اللي هي هتساوي لنا ا م ب ال م ب تساوي 2 من الف ج ب ا ج ب وده اللي احنا مفروض نصل لله واضحه هذه النقطه يا شباب نعم ا كل اللي وصلنا ليه هو نفذناه وهو اثبتنا انه المثلث الاول والمثلث الثاني الاثنين الاول متساوي الساقين الثاني متساوي الساقين تعاملنا مع الزاويه الخارجيه بالنسبه للمثلث وقلنا الزوايا دائما بالنسبه للمثلث متساوي ساقين انه الزوايا اللي بتكون منشاه على القاعده اللي هي بتساوي بعض ولذلك هذه س هذه س نفس الفكره قلنا هذه ممكن تكون ص وهذه تكون ص ولذلك اي واحده منهم اللي هي بعد جمعناهم الاثنين ساونا اللي هو نصف الزاويه المركزيه اذا الان الخلاصه ان الزاويه المركزيه هي بتساوي ضف الزاويه المحيطيه ولكن شرطهم الاساسي ان يكونوا الاتنين منشئين على نفس القو اذا ناخذ لنا امثله على هذه النظريه تعالوا مع بعض نشوف هذا المثال الاول في هذا المثال قاللي عندك في الشكل المقابل عباره عن دائره مركزه م ننظر لهذا الشكل هذا الشكل عباره عن دائره مركزه م لدينا هذه الزاويه عباره عن زاويه مركزيه لدينا هذه الزاويه زاويه محيطيه الان لو اخذنا هذا عباره عن قوس اي نقطه هنا مثلا سميها ل اذا ل لو اخذناه يبقى س لام ص عباره عن قوس اذا الان ملاحظ ان الزاويه المركزيه والزاويه المحيطيه الاثنين منشئين على نفس هذا القوس ولذلك هذه الزاويه طالما محيطيه وهذه مركزيه يبقى قلنا المركزيه هي الضعف للزاويه المركزيه او المحيطيه ضعفها وليست نصفها اذا من هنا افتراضا اعطاني ان الزاويه س عين ص س عين ص هذه تساوي 35 معطاه طيب طبعا المطلوب هنا هذه الزاويه هذه الزاويه اسمها ص هي المطلوبه مطلوبه الزاويه ص من هذا المثلث اذا من هنا انا هستفيد من اول شي حجد الزاويه المركزيه واعرف انه هذا المثلث اللي اسمه س م ص هو متساوي الساقين بما انه متساوي الساقين معناها الزاويه او الزاويتين المنشات على نفس القاعده بيساوي بعض فيذا عرفت هذه الزاويه معناها الزاويه الموجوده هنا الباقي هقسم عليهم الاثنين تمام نعم طيب اذا انا عرفت هذه 35 محيطيه يبقى المركزيه المفروض تساوي 70 يعني هذه الزاويه نظريا كده 70 اذا باقي من المثلث كم اذا اخذنا 70 باقي 110 اذا ال 110 هذه تتقسم عليهم الاتن اذا معنا هذه الزاويه حتكون 110 على ا تساي 55 تمام هذه اجابتنا على هذا السؤال ولذلك هنا طبعا قيمه الزاويه س مم ص سين مم ص اللي هي الزاويه المركزيه وعايز الزاويه س ص م هذه الزاويه والاثنين انا وجدتهم اذا حل الف س م ص مركزيه معناها تساوي ضعفه المحيطيه اذا تساوي ا في المحيط اللي هي س عين ص اذا 2 ضرب 35 تساوي 70 درجه اذا الزاويه المركزيه قلنا تساوي 70 درجه بما انه عرفنا المركزيه نوجد الزاويه الاخرى اللي هي ص اذا س ص م عباره عن مثلث متساوي الساقين قنا هذا المثلث هو متساوي الساقين اذا الزوايا بالن بالنسبه لنا مفروض تكون متساويه ق على القاعده اذا زاويه س ص م تساوي مجموع زوايا المثلث 180 هطرح منهم الزاويه المعلومه اللي هي المركزيه هقسم على اين اذا اللي هي تساوي لنا 100 و10 110 قسمه 2 تساوي 55 اذا هذه الزاويه زي ما قلنا هي 55 درجه واضحه يا شباب ممتاز لدينا نشاط اين بحيث انه ايضا نتوصل لنظريه اخرى في هذا النشاط قاللي ارسم دائره مركزه م ارسم دائره مركزه م ننظر لهذه الدائره مع بعض هذه دائره المركز م طيب النقطه التانيه ارسم القطر الف ب الف وبا هذا القطر الف وباء هذا هو القطر الف وباء لاه ارسم الزاويه المحيطيه زاويه ا ج ب على القطر ا ب زاويه محيطيه ا ج ب ا وج وبا هذه هي الزاويه المحيطيه هذه هي الزاويه المحيطيه طيب السؤال ال رابع قس هذه الزاويه المحيطيه ا وج ب ا ج ب السؤال كم مقدار هذه الزاويه طبعا قياس الزاويه زي ما قلنا باستخدام المنجله لان هذا نشاط عملي اذا لو قسنا هذه الزاويه بالمنقله تقريبا هي عباره عن 90 عباره عن 90 دليل طيب 5 قاللي ارسم عده زوايا محيطيه على القطر الف وبا وقم بقياسه مر نفسك على عدد من الزوايا ممكن انا على هذا القطع ارسم زاويه هكذا مثلا ك واجي اقيس هذه الزاويه تمام نعم ممكن ارسم زاويه اخرى مثلا هكذا وقيس هذه الزاويه اذا ممكن ارسم عدد من الزوايا على هذا الغطر طيب من هنا بعد ما نقيس نجرب بنصل ل نظريه مهمه جدا بعد ما حددنا مقدار كل من هذه الزوايا اللي رسمناها وقمنا بقياسها بنصل للاتي ان نظريتنا رقم 6 الزوايا المحيطيه المرسومه على قطر الدائره قائمه الزوايا المحيطيه المرسومه على قطع الدائره عباره عن زاويه قائمه بمعنى انه جميع هذه الزوايا عباره عن 90 درجه اي زاويه محيطيه مرسومه على قطر الدائره بتكون عباره عن زاويه قائمه اي بمعنى انه مقدارها 90 درجه طيب تعالوا مع بعض نثبت هذه النظريه اذا بحيث انه نثبت هذه النظريه اللي هو لدينا البران الرياض نفس رسمتنا قطر الف وباء زاويه محيطيه ج ودي اللي احنا المفروض نصل انه هذه الجيم تساوي 90 درجه اذا من هنا لدينا معطيات اول شي عندنا دائره كزمي النقطه الثانيه عندنا القطر جاهز الف وباء هذا الف وبا قلنا عباره عن قطر وعندنا ج عباره عن نقطه على الدائره ج عباره عن نقطه على الدائره اللي هو مركزها م هذه هي ثلاث معطيات دائره وقطر ونقطه على محيط الدائره اذا المطلوب عايزين نثبت ان الزاويه ال و ال ج ب تساوي 90 در المطلوب اثباته ان الزاويه الف وجي وبا تساوي لنا 90 درجه اذا ببساطه جدا لدينا البرهان النقطه الاولى احنا نرتكز على الغطر الف وبا الف وبا عباره عن قطر عندنا هذا المثلث لو اخذناه الف وميم وبا هذه هذه الزاويه زاويه مستقيمه الف م ب زاويه مستقيمه معناها هي تساوي 180 درجه عباره عن زاويه مستقيمه 180 درجه يبقى بما انه هذه الزاويه 180 درجه اذا هنا لاحظ هذه تعتبر زاويه مركزيه وهذه زاويه محيطيه واخدنا نظريه قبل شويه انه لو اخدنا ال وحدنا اي نقطه هنا وبا هذا يعتبر ص هذا يعتبر قوس اذا الزاويه المركزيه على القوس الزاويه المحيطيه على القوس قانوننا بيقول ان الزاويه المركزيه هي الضعف للزاويه المحيطيه والزاويه المحيطيه هي نص للزاويه المركزيه اذا هذه هي نظريتنا ولذلك من هنا عندنا ولكن انه ا ج ب هي تساوي نصف الزاويه المركزيه اللي هي الالف وميم وباء وهذه زي ما قلنا نظريه بما انه تساوي نصها اذا معناها ضرب هنا في 180 اذا الخلاصه حتكون ا وج وبا نص ضرب 180 يبقى تساوي 90 درجه تساوي 90 درجه وطبعا هذا هو المطلوب اثباته واضحه يا شباب ممتاز اذا الخلاصه انه اي زاويه اي زاويه محيطيه منشاه على زي ما قلنا قطر في هذه الحاله انه بتكون الزاويه عباره عن زاويه قائمه هذه هي نظريتنا رقم سته هذ كده بنكون اثبتنا اعتمادا على نظريتنا الخامسه انه الزاويه المركزيه هي تساوي ضعف الزاويه المحيطيه وقلنا الزاويه المحيطيه ايضا هي نصف للزاويه المركزيه اذا بكده بنكون خلصنا هذا البرهان وايضا بنكون خلصنا هذه الحصه والى نلتقي في حصه اخرى باذن الله تعالى ما تنسون من صالح دعائكم وما تنسوا اشتراككم ودعمكم لهذه القناه بحيث انه نجد فيها كلجديد والمفيد باذن الله تعالى السلام عليكم ورحمه الله وبركاته