الاحداثيات القطبية رياضيات 6

الاحداثيات القطبيه الى الان كنا نتكلم عن المستوى الاحداثي الاكس والواي كنا لما نبغى نعين نقطه كنا لازم نحدد احداثيين احداث الاكس مثلا اكس واحد واحداث الواي واي واحد وهذه النقطه كنا نسميها اكس واحد واي واحد طب هذه كنا فين نستخدمها يعني لو جينا في حياتنا اليوميه فين كنا نستخدمها هذه تستخدم مثلا في شاشات الكمبيوتر يعني لو نبغى نعين اي نقطه على شاشه الكمبيوتر حيكون لها احداثيين فقط احداث الاكس واحداث الواي يعني المستوى الاحداثي ينفع نستخدمه مع الاشكال المسطحه عشان نعين اي نقطه على شكل مسطح عشان كده نقدر نستخدمه في الخرائط مثلا لما نرسم خريطه نقدر نرسم عليها محور اكس وواي عشان نقدر نحدد اي نقطه على الخريطه لكن المستوى الاحداثي غير مناسب لكل الحالات مثلا خلينا نشوف المطارات احنا نعرف انه كل مطار عنده رادار انا ايش يهمني في المطار انا يهمني اعرف كل طياره بعدها عن المطار ومن اي جهه جايه للمطار عشان كده دائما تشوف الرادارات في المطارات تدور حوالين نفسها 360 درجه ليش يدور حوالين نفسه عشان اعرف الاشياء اللي حوالين المطار اللي قريبه من المطار يعرف قد ايش بعدها وايش هو اتجاهها افرض مثلا كان عندي طياره جايه للمطار بهذه الطريقه الرادار يبغى يعرف كم بعدها وايش اتجاه لو فرضنا مثلا انه الرادار بيبدا قياس الزاويه من هنا يعني هذه النقطه المرجعيه يصير احنا نبغى نعرف هذه الزاويه كم ونفس الشيء في الغواصات الرادار على الغواصه ايش يهمه يعرف يهمه يعرف الاشياء اللي في محيط الغواصه كم بعدها عن الغواصه وفين اتجاهها يعني مثلا لو كان في غواصه جايه بهذه الطريقه احنا هنا في هذه الغواصه ايش يهمنا يهمنا يعرف كم بعد الغواصه وايش هو اتجاهها يعني جايه من اي ناحيه مثلا لو كان هذا خط المرجع اللي بنقيس منه الزاويه احنا نبغى نعرف الغواصه جايتنا باي زاويه في هذه الحالات كلها ما ينفع نستخدم المستوى الاحداثي صعب علينا عشان كده العلماء والمهندسين اخترعوا نظام جديد لمثل هذه الحالات وهذا النظام الجديد سموه المستوى الاحداثي القطبي واللي حنسه في هذا الفصل طيب حنشوف الان كيف نمثل النقاط على المستوى الاحداثي القطبي اول شي نبدا فيه اننا نرسم هذا المستقيم اللي هو حيكون المرجع لنا اللي ح نسميه المحور القطبي وقلنا هذا المحور هو اللي حيكون الاساس اللي نقيس منه الزوايا وبعد كده لو فرضنا انه عندي هذه النقطه سميها اي اسم مثلا النقطه بي كيف ح نمثل النقطه بي في المستوى الاحداثي القطبي حرسم خط مستقيم من مركز المحور القطبي يمر بالنقطه بي وحنق هذه الزاويه افرض مثلا كان قياسها ثيتا نقيس هذا الطول الطول من مركز المحور القطبي الى النقطه بي فرضا كان طوله بار طبعا هذه النقطه تعتبر النقطه صفر لا تنسوا طيب يعني صار عندي بعد النقطه عن مركز الاصل ولو افتكرنا مثال الرادار يعني افرض ان الرادار في نقطه اصل المحور القطبي والنقطه بي هي الطياره او الغواصه اللي بتقرب من الرادار اذا ار هي تمثل المسافه بين الرادار والطياره او الغواصه اللي بتقرب من الرادار وهذه تمثل الزاويه بين النقطه والمحور القطبي اللي هو المرجع اللي بنقيس منه الزاويه طيب النقطه دي كيف نمثلها نمثلها كالتالي ناخذ المسافه ار نحطها اول بعدين فاصله وناخذ الزاويه مع المحور القطبي ثيتا ونحطها هنا ونقفل القوس وهذا صار تمثيل النقطه بي على المستوى الاحداثي القطبي طيب في حاجه هنا لازم نتكلم عليها شوف الزاويه دائما نقيسها من المحور القطبي لو مشينا عكس عقارب الساعه يعني بهذا الاتجاه يصير قياس الزاويه موجب لكن لو فرضا كانت عندي هذه النقطه كيو وجيت رسمت نصف مستقيم من نقطه الاصل الى النقطه كيو لو جيت قست الزاويه مع عقارب الساعه هنا يصير لازم احط قياس الزاويه بالسالب ولكن انت خلي بالك اني اقدر اقيس نفس الزاويه بطريقه ثانيه يعني حتكون هي نفسها هذه الزاويه يعني في هذه الحاله حيكون اتجاهها بالموجب لكن لو قستها بهذا الاتجاه يعني مع عقارب الساعه حيكون اتجاهها بالسالب يوضح معانا هذا الموضوع اكثر في الامثله هذا كان بالنسبه للزوايا وحتى بالنسبه للمسافه ار احنا شوف الار نسميها مسافه متجهه يعني ممكن تكون بالسالب وممكن تكون بالموجب هنا عندنا الار بالموجب لو كانت بالسالب حتيجي الناحيه الثانيه يعني حنجي من نقطه الاصل ونمشي للناحيه الثانيه وهذه صارت سالب ار يصير هذه النقطه لو سميناها ار كبيتل ايش حتكون احداثياتها شوف هنا كانت ار بالموجب بس بما اني عكستها يصير هنا سالب اربين الزاويه حتكون نفسها اللي هي هذه الزاويه تتا وبرضو يوضح معانا الكلام هذا في الامثله هذا السؤال يقوللي مثل كل نقطه مما ياتي في المست القطبي واول نقطه اعطاني اياها النقطه ا والزاويه 45 طبعا احنا نعرف ان المسافه 2 حتكون مسافه النقطه او بعدها عن نقطه الاصل وهذه الزاويه 45 هي حتكون الزاويه اللي تعملها النقطه مع المحور القطبي طيب خلينا نمثل المحور القطبي طبعا المحور القطبي حيكون عباره عن مجرد ترسم مستقيم هذه نقطه الاصل صفر وهذا هو المحور القطبي تقدر تفكر فيها مثلا لو افتكرنا مثال الرادار انه هذه هي الجهه اللي يبدا منها الرادار بالدوران طيب رسمنا المحور القطبي الان نمثل النقطه الزاويه عندي 45 صير نجيب المنقله احطها على نقطه الاصل واقيس الزاويه من هنا امشي الين الزاويه 45 واحط النقطه طيب الان اقيس البعد الان ارسم نصف مستقيم من نقطه الاصل يمر بهذه النقطه لكن انا البعد اللي ابغى اقيسه هو ار اللي هو اين اصير اجي من نقطه الاصل واقيس وحدتين انا هنا هستخدم الانش وحدتي هي الانش بس انت تقدر تستخدم السنتيمتر المهم انه حنمشي وحدتين يعني هذه المسافه صارت عندي اثنين وهذه اللي هي النقطه اي الاحداث 2 و45 درجه طيب نشوف النقطه اللي بعدها اللي هي النقطه بي وهذه احداثياتها يعني عندي حتكون هذه الار وهذه هي الزاويه من المحور القطبي اول شيء ناخذ الزاويه طيب الزاويه عندنا مكتوبه بهذه الطريقه بالراديان كيف اقدر احولها للدرجات احنا نعرف انه باي بالراديان تقابل الزاويه 180 درجه احنا نبغى نعرف 2 باي على 3 بالراديان كم هتساوي بالدرجات نفرض انها ثيتا يصير الثيتا ح تساوي نضرب 2 باي على 3 في 180 2 باي على 3 في 180 ونقسم على باي يعني هنا على باي حتروح الباي مع باي يصير عندي 360 على 3 اللي هي 120 درجه وعشان اسهل عليك التحويل بعد كده شوف دائما الباي تروح مع الباي يصير لو جاتك مره ثانيه 2 باي على 3 صير تقدر تحولها على طول تضرب 2 باي على 3 وبدل الباي تحط 180 درجه تطلع لك الزاويه بالدرجات و حتشوف كيف في الامثله طيب طلعنا الزاويه اللي هي 120 نصير نجيب المنقله ونحطها على نقطه الاصل نبدا قاس الزاويه من هنا ونمشي 120 درجه ونجي من نقطه الاصل ونرسم نصف مستقيم يمر بالنقطه اللي حددناها صير هذه الزاويه عندي 120 درجه او 2 باي على 3 طيب الار عندي بسالب نص لو كانت الار بموجب نص يصير حا قيسها من هنا و طلع واحد ونص وحده بس عندي هنا الار بالسالب السالب يصير حروح الجهه المقابله صير لازم ارسم امتداد لهذا المستقيم ومن هنا اقيس وحده ونص يعني حوصل هنا يعني هذه طولها صار واحد ونص وهذه النقطه عندي هي بي احداثياتها سالب واحد ونص والزاويه 2 باي على 3 طيب نشوف اللي بعدها عند النقطه سي اللي هي 3 وسالب 30 درجه زي ما نعرف هذه الار وهذه الزاويه مع المحور القطبي طيب الزاويه سالب 30 درجه سالب يعني حنمشي من هنا مع عقارب الساعه يعني حننزل لتحت را نجيب المنقله وحطها كذا وقيس الزاويه بهذه الطريقه اوصل هنا الين 30 ص نجي من نقطه الاصل ونرسم نصف مستقيم رب بالنقطه اللي حددناها صير هذه الزاويه اللي هي سالب 30 درجه طيب الان اقيس البعد لاه صير اجي من نقطه الاصل ونقيس لاه وحدات يعني حنوصل هنا وصارت هذه المسافه لاه ص هذه النقطه اللي هي سي 3 والزاويه سالب 30 درجه طيب نشوف السؤال اللي بعده عندنا هذه النقطه زي ما نعرف هذه ار اللي هي المسافه من نقطه الاصل بعدين هذه الزاويه من المحور القطبي الزاويه 240 درجه يعني حبدا من هنا والزاويه بالموجب يعني حمشي عكس عقارب الساعه 240 درجه طيب انا اعرف انه زاويه الخط المستقيم هي 180 درجه يعني انا لو مديت هذا الخط هذه الزاويه كلها تساوي 180 درجه بس انا زاويتي 240 يعني حمشي 180 هذه وازود عليها قديش نطرح 240 ناقص 180 تساوي 60 درجه يعني من بعد ال 180 من هذه النقطه اقيس كمان 60 درجه الين اوصل للزاويه اللي ابغاها هذه طريقه لحساب الزاويه حرسم امتداد للمحور القطبي انا رسمت هذا الامتداد عشان اعرف بس فين الزاويه 180 درجه بعدين حجيب المنقله طبعا لازم نقطه الاصل للمقله تجي على نقطه الاصل لمحور القطبي وحيس من هذه الجهه الين اوصل الى 60 درجه بعدين اجي من نقطه الاصل وارسم نصف مستقيم نر بنقطه الزاويه اللي حددتها بعدين قلل ار 2 ونص يصير اجي من نقطه الاصل واقيس 2 ونص وحده يعني حوصل هنا وهذه المسافه حتصير 2 ونص وهذه الزاويه كلها 240 درجه وهذه النقطه اللي هي اي اللي احداثياتها بعدها عن نقطه الاصل 2 وص وزاويته 240 درجه طيب نشوف النقطه اللي بعدها النقطه دي الماين واحد هي الار والباي على ا اللي هي الزاويه طيب باي على ا كم ح تساوي بالدرجات قلنا احنا اول عشان نحولها يصير بدل الباي نحط 180 درجه على 2 يعني هتساوي الزاويه 90 درجه نجيب المنقله نحطها على نقطه الاصل وعند الزاويه 90 درجه ونرسم مستق ق من نقطه الاصل يمر بالنقطه اللي حددناها بعد كده عندي الار سالب واحد صر ما حتكون النقطه على هذه الجهه حتكون على الجهه المقابله صر لازم امد المستقيم من الجهه الثانيه من هنا اقيس وحده واحده وهذه صارت النقطه دي اللي هي سالب واحد وباي على ا وهذه الزاويه اللي قناها اللي هي باي على 2 هي 90 درجه وهذه المسافه اللي هي واحد طيب نشوف النقطه اللي بعدها الاربعه حتكون هي المسافه ار وسالب خ باي على س اللي هي الزاويه طيب نشوف الزاويه خلينا نحولها بالدرجات عشان نعرف نقيسه 5 باي على 6 بالسالب طبعا تساوي ايش قلنا بدل الباي نحط 180 درجه يعني حتصير سالب 5 في 180 على 6 تساوي سالب 150 درجه يصير هي هذه زاويتنا سالب 150 شوف سالب يعني مع عقارب الساعه يعني حبدا من هنا وانزل على تحت اجيب المنقله احطها على نقطه الاصل بهذه الطريقه حبدا من هنا وامشي الين اوصل للزاويه 150 بعدين اجي من نقطه الاصل وارسم نص مستقيم يمر بالنقطه وهذه صارت الزاويه سالب 150 درجه او اللي هي سالب خ باي على 6 طيب عندي الار باربعه صير اجم من نقطه الاصل واقيس اربع وحدات احدد النقطه وهذه المسافه حتكون اربعه وهذه هي النقطه اف اللي احداثياتها البعد عن نقطه الاصل اربعه وزاويته سالب خ باي على 6 احنا شفنا كيف نمثل نقطه على المستوى الاحداثي كنا نرسم المحور القطبي ونقول هذه نقطه الاصل وبعدها كنا كل مره نقيس الزاويه ونكرر نفس العمليه لكل نقطه وعشان نسهل على نفسنا هنستخدم حاجه اسمها المستوى القطبي في هذا الشكل احنا حددنا خطوط للزوايا وحددنا خطوط لبعد النقطه عن نقطه الاصل يصير اسهل بالنسبه لنا نمثل النقاط على المستوى القطبي وحنشوف كيف في المثال نشوف الان تمثيل النقاط في المستوى القطبي فذا السؤال يقوللي مثل كل نقطه من النقاط التاليه في المستوى القطبي طيب خلينا نشوف هذه النقطه كيو عندنا هذه ار بعد ال نقطه نقطه الاصل وهذه الزاويه الزاويه اعطاني اياها بالدرجات طيب قل الزاويه 150 صير نجي هنا عند الزاويه 150 درجه طيب والار قلب 3 ونص يصير انا امشي على الار هذه واحد هذه اين هذه لاه 3 ونص حتكون هنا تقريبا يعني تخيل دائره نصف قطرها 3 ونص حتكون بدي الطريقه لو كانت الار بالموجب كنت انا حجي على خط الزاويه 150 واعود حده اثنين 3ه يعني حتكون هنا تقريبا لكن انا عندي ار بالسالب يعني حاجي على خط الزاويه درجه من نقطه الاصل امشي للناحيه الثانيه امشي حده اين 3 ونص يعني حوصل هنا تقريبا ويصير هذه هي النقطه كيو اللي هي سالب 3.5 و 150 درجه وشوف هم الاثنين على نفس الخط خط الزاويه 150 درجه في هذا السؤال يقول مثل كل نقطه من النقاط الاتيه في المستوى القطبي واعطاني نقطه بي 3 ورب باي على 3 طيب يعني هذه الثلاثه هي الار وال 4 باي 3 هي الث يعني عشان نمثل الثلاثه حتكون حنمشي من نقطه الاصل حده اين 3 يعني حتكون على هذه الدائره اللي قطرها ثلا طيب عشان نجيب الزاويه 4 باي على 3 نمشي على الزوايا لين نوصل للزاويه 4 باي على 3 يعني على خط ال 4 باي على 3 حنمشي ثلاث وحدات وحتكون النقطه هنا هذه هي النقطه بي احداثياتها 3 ورب باي على 3 طيب نشوف هذه النقطه يبغاني امثل نقطه في المستوى الاحداثي والار عندي بسالب واحد ونص والتا الزاويه سالب س باي على 6 شوف انتبه الزاويه سالب س باي على س يعني حاجي من هنا وحنزل لتحت مع عقارب الساعه لو كانت موجبه كنت حبدا من هنا وامشي بالاتجاه الموجب عكس عقارب الساعه الين اوصل ل 7 باي على 6 لكن انا عندي الزاويه بالسالب يصير لازم امشي مع عقارب الساعه على تحت طيب كيف اسويها ذ شوف احنا لما اخذنا الزاويه بالموجب مشينا واح 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 بالاتجاه الموجب الان وصلنا للزاويه 7 باي على 6 يصر عشان نجيب الزاويه سال 7 باي على 6 حنمشي في الاتجاه السالب خطوه 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 يصير هي ذي الزاويه سال س باي على 6 6 ولو تبغى تتاكد نشوف احنا عشان نحول سالب س باي على 6 نخليها بالموجب نضيف عليها 2 باي دوره كامله يعني عشان تصير بالموجب طيب نشوف سالب س باي على 6 زائد 2 باي تتساوي نوحد المقامات هذه مقامها بواحد نخليها 6 والبسط برضه نضربه في 6 عندي ا يصير باي الان نجمع سالب س باي و 12 باي يصير موجب 5 باي على 6 اللي هي شوف هي اللي وصلنا لها انت تقدر تستخدم هذه الطريقه او هذه الطريقه في الحل طيب احنا حددنا الزاويه هو قال المسافه بواحد ونص طيب احنا حددنا الزاويه يعني انا حمشي على هذا الخط يصير امشي من نقطه الاصل الوحده ونص يصير هذه هي النقطه حقت اللي هي ار المسافه من نقطه الاصل واحد وص والزاويه سالب س باي على 6 طيب نشوف اللي بعده عندي الار بسالب ا والزاويه بسالب 135 طيب انا عندي الزاويه هنا بالسالب طيب نشوف كيف نسويها لو كانت الزاويه بالموجب كنت حشي من هنا حده 2 3 4 5 6 7 8 9 ت الين اوصل للزاويه 135 مشي تس خطوات بس انا عندي الزاويه بالسالب يصير اجي هنا وانزل تحت واح 2 3 4 5 6 7 8 9 ت خطوات الين اوصل الى هنا يصير هذه هي الزاويه حقتي اللي هي سالب 135 درجه ممكن نجيبها كيف برضو سالب 135 درجه هذه نضيف عليها 360 درجه هذه لو حسبتها حتطلع درجه اللي هي احنا جبناها بهذه الطريقه تقدر تستخدم اي طريقتين طيب جبنا الزاويه خلينا نرسم خط الزاويه وعندي الار بسالب اين صير اجي من نقطه الاصل لو كانت موجب اين انا كنت حمشي على هذا الخط حق الزاويه حمشي بهذه الجهه لكن هي بالسالب يصير حمشي بعكس الاتجاه حمشي وحده اثنين ووصلت لسالب اين صير هذه هي النقطه حقتي اللي هي سالب ا سالب 135 ‏a