زوايا المثلثات للصف التاسع العام والمتقدم

السلام عليكم ورحمه الله وبركاته اهلا بكم في درس جديد درسنا زوايا المثلثات ونتعلم في الدرس ده تطبيق نظريه مجموعه زوايا المثلثات وتطبيق نظريه الزاويه الخارجيه الجزء الاول من الدرس نظريه مجموعه زوايا المثلثات يبلغ مجموع قياس زوايا المثلث اي بي سي 180 درجه مجموع الزوايا اي مثلث هيساوي ساوي 180 درجه علشان نسبه النظريه هنحتاج ان احنا نستعين بمثلث هنسمي الزوايا لاثه الموجوده داخل المثلث الزاويه واحد والزاويه اثنين والزاويه لاثه علشان نثبت انه مجموع زوايا المثلث بتساوي 180 هنستعين بمستقيم مساعد من اي راس من رؤوس المثلث الثلاثه ممكن نستعين بالراس اللي في الاعلى هنرسم مستقيم بشرط ان هو يكون موازي للضلع المقابل ليه يعني هنا ده هيكون مستقيم مساعد لاثبات النظريه هنعمل عليه علامه التوازي مع الضلع المقابل ليه على المثلث بالتالي هيكون ضلع المثلث بالنسبه للمستقيم المساعد هيكون قاطع يبقى زي ما درسنا في الدروس السابقه اذا توازى مستقيمان وقطعهم قاطع يتكون زوايا متبادله داخليه بتكون متطابقه يعني هيكون الزاويه واحد متبادله داخليا مع الزاويه اربعه فبيكونوا متطابقين واذا كان الضلع الاخر في المثلث هيكون ضلع قاطع يبقى هيكون الزاويه لاثه متبادله داخليا مع الزاويه خمسه فهما متطابقتان بالتالي الزاويه اربعه زائد الزاويه الزاويه اين زائد الزاويه خمسه زوايا على خط مستقيم هيكون مجموعهم بيساوي 180 درجه يبقى النتيجه هيكون انه مقياس الزاويه واحد زائد الزاويه اين زائد الزاويه لاثه هيكون بيساوي 180 درجه وده هيكون اثبات انه مجموع الزوايا اي مثلث بيساوي 180 درجه للاستعانه بمستقيم مساعد من اي راس من رؤوس المثلث مثال رقم واحد من الحاله اليوميه استخدام نظريه مجموع زوايا المثلث كره القدم يوضح الرسم التخطيطي مسار الكره في تدريب على التمرين لاربعه اصدقاء جد قياس كل زاويه مرقمه عندي الرسم على شكل مثلثين المثلث مجموع زواياه 180 فهنا بما انه المثلث اي بي سي موجود في الزاويه 20 درجه والزاويه 78 درجه والزاويه لاثه مجهوله بالتالي نقدر ان احنا باستخدام نظريه مجموع زوايا المثلث نقدر ان احنا نوجد قياس الزاويه لاثه يبقى في المثلث اي بي سي مقياس الزاويه لاثه زائد الزاويه بي اي سي اللي هي قياسها 20 درجه زائد مقياس الزاويه اي سي بي هيكون مجموع قياس الزوايا 180 درجه يبقى بالتعويض هيكون عندي مقياس الزاويه لاه زائد الزاويه بي اي سي هيكون قياسها 20 درجه زائد الزاويه اي سي بي قياسها 78 درجه بيساوي 180 فهنا هحلها كمعادله هجمع 20 + 78 يبقى مقياس الزاويه 3 + 98 درجه اللي هو مجموع 78 + 20 = 180 اطرح نا 98 من كل طرف هيديني مقياس الزاويه لاهكون بيساوي 180 - 98 هيدينا 82 درجه يبقى كده جبنا قياس الزاويه لاه بعد كده هنوجد مقياس الزاويه اثنين لانه في علاقه ما بين الزاويه اثنين والزاويه اي سي بي زاويتان متقابلتان بالراس يبقى نقول انه هنا في علاقه تساوي بين الزاويه اثنين والزاويه اي س بي علاقتهم مع بعض هما زاويتان متقابلتان بالراس فهما متساويتان يبقى هنقول انه الزاويه اثنين هتساوي نفس القياس اللي هو 78 درجه باقي عندنا الزاويه واحد ممكن نجيبها باستخدام قاعده مجموع زوايا المثلث المثلث الاخر اللي هو سي اي دي مجموع الزواياه هيكون مقياس الزاويه واحد زائد مقياس الزاويه انين زائد مقياس الزاويه سي اي دي بيساوي 180 درجه حسب نظريه مجموع زوايا المثلث مقياس الزاويه واحد هيكون زائد مقياس الزاويه اثنين بالتعويض زي ما جبنا قيمتها 78 درجه هنعوض بقيمتها والزاويه سي اي دي قياسها 61 درجه بتساوي 180 78 61 هيدينا 139 ساوي 180 هنطرح نا 139 من كل طرف هيدينا مقياس الزاويه واحد 180 نا 139 هيدينا مقياس الزاويه واحد بيساوي 41 درجه اهو يبقى كده وجدنا القياسات المطلوبه تمرين موجه جيت قياس جميع الزوايا المرقمه تمرين موجه واحد اي هبدا بايجاد الزاويه اثنين من المثلث ال كي ام بسبب انه في معلوم زاويتين داخل مثلث الزاويه 57 درجه والزاويه 71 درجه نقدر باستخدام قاعده مجموع الزوايا المثلث نوجد قياس الزاويه اثنين مقياس الزاويه اين زائد مقياس الزاويه كي ال ام زائد مقياس الزاويه ال كي كام؟ بيساوي 180 درجه حسب نظريه مجموع زوايا المثلث يبقى مقياس الزاويه اين هعوض بمقياس الزاويه كي ال ام 57 درجه زائد مقياس الزاويه ال كي ام 71 درجه بيساوي 180 بعد كده مقياس الزاويه اين وهجمع 71 + 57 هيدينا 128 = 180 هطرح نا 128 من كل طرف يبقى هيكون مقياس الزاويه 2 هيساوي 180 نا 128 يبقى مقياس الزاويه 2 هيساوي 52 درجه بعد كده نقدر نجيب مقياس الزاويه واحد عن طريق انه الزاويه 57 مع الزاويه واحد زوايا على خط مستقيم يعني مجموعهم هيكون بيساوي 180 لانه زاويتان متكاملتان نقدر نقول ان مقياس الزاويه واحد زائد مقياس الزاويه كي ال ام بيساوي 180 زاويتان متكاملتان مجموعهم 180 يبقى مقياس الزاويه 1 + 57 = 180 بعد كده مقياس الزاويه واحد هيساوي 180 - 57 هيدينا 123 درجه كده اصبح المثلث اللي على اليسار معلوم منه زاويتين الزاويه 28 درجه والزاويه واحد اللي هي 123 باقي نوجد قياس الزاويه جي اللي هي 3لاه ممكن نجيبها باستخدام مجموع الزوايا المثلث الكبير اللي هو المثلث الخارجي جي كي ام او ممكن ان احنا نستخدم المثلث الصغير اللي هو جي ال كي فهنقول انه حسب مجموع زوايا المثلث هنقول انه مقياس الزاويه جا زائد مقياس الزاويه واحد زائد مقياس الزاويه الكي جي بيساوي 180 حسب نظريه مجموع زوايا المثلث يبقى مقياس الزاويه جي زائد مقياس الزاويه واحد 123 23 درجه بالتعويض + 28 يساوي 180 يبقى مقياس الزاويه جي وهجمع 28 + 123 هيكون 151 درجه ساوي 180 هطرح ناص 151 من كل طرف يبقى مقياس الزاويه جي هيكون بيساوي 29 درجه تمرين موجه واحد بي عندي بعض القياسات المجهوله اللي محتاجه عشان اوجدها ان هستخدم نظريه مجموع زوايا المثلث فهنا عندي ممكن ابدا بقياس الزاويه سبعه بما انها موجوده في مثلث معلوم منه قياس زاويتين يبقى الاسهل ان انا ابدا بيها يبقى عندي الزاويه واي 58 الزاويه واي زد اكس هتكون قياسها 65 يبقى هنا هبدا الخطوه الاولى اوجد مقياس الزاويه سبعه بما انها زاويه داخل مثلث زائد مقياس الزاويه واي زائد مقياس الزاويه واي زد اكس مجموعهم هيكون بيساوي 180 درجه يبقى يبقى بالتعويض مقياس الزاويه 7 زائد الزاويه واي 58 زائد الزاويه واي زد اكس هتكون 65 ساوي 180 درجه اجمع 58 + 65 هيدينا 123 درجه ساوي 180 يبقى عندي مقياس الزاويه 7 بي=وي 180 - 123 هيدينا 57 درجه ده هيكون قياس للزاويه سبعه كمان في عندي زاويه متقابله بالراس مع الزاويه السبعه اللي هي الزاويه خمسه نلاحظ ان هم متقابلين بالراس بالتالي هما متطابقين يبقى في الخطوه الثانيه هقول انه عندي الزاويه سبعه والزاويه خمسه علاقتهم مع بعض هي الزوايا متقابله بالراس اذا هي متطابقه يبقى نقدر نقول ان مقياس الزاويه خمسه هيساوي نفس القياس اللي هو درجه بما انه الزاويه خمسه موجوده في المثلث في دبليو اكس نقدر ان احنا نستعين بالزاويه خمسه مع الزاويه في دبليو اكس علشان نوجد قياس الزاويه اربعه يبقى هنا علشان نوجد مقياس الزاويه اربعه زائد مقياس الزاويه 5 اللي جبناه في الخطوه السابقه زائد مقياس الزاويه في دبليو اكس بما انهم لاث زوايا داخل مثلث هيكون مجموعهم 180 درجه حسب نظريه مجموع زوايا المثلث يبقى بالتعويض فيس الزاويه 4 زائد الزاويه 5 زائد الزاويه الزاويه في دبليو اكس 67 بتساوي 180 هجمع 57 + 67 هيدينا 124 ساوي 180 يبقى مقياس الزاويه 4=وي 180 - 124 هيدينا قياس الزاويه اربعه بيساوي 56 درجه هاخد الزاويه سبعه مع الزاويه سته هما زاويتان على خط مستقيم فهما متكاملتان فنقدر نستخدمهم بما انه مجموعهم 180 علشان نوجد قياس الزاويه سته يبقى هنا نقدر نقول انه ان مقياس الزاويه 6 + مقياس الزاويه سبعه بيساوي 180 درجه زاويتان متكاملتان مجموعهم 180 يبقى مقياس الزاويه سته وبالتعويض مقياس الزاويه سبعه زي ما جبناه في الخطوه الاولى 57 درجه بيساوي 180 ونطرح 57 من كل طرف هيدينا مقياس الزاويه هيكون بيساوي 123 درجه بعد كده الزاويه التسعه والزاويه الثمانيه موجودين في قاعده المثلث دبليو اكس زد بالتالي هما متطابقتان بما انه عليهم علامه باللون الاحمر انه الزوايا الشكل ده هتكون متطابقه يبقى هم الزاويتين الباقيين في المثلث نقدر نجيبهم عن طريق ان احنا هنستخدم نفس النظريه اللي هي نظريه مجموع زوايا المثلث حسب نظريه مجموع زوايا المثلث هنقول انه مقياس الزاويه 8انيه زائد مقياس الزاويه تسعه بيطبقوا بعض زائد مقياس الزاويه 6 بيساوي 180 درجه يبقى بالتالي انه زاويه تسعه والزاويه انيه متطابقتان يبقى يبقى نقدر نقول انه مقياس الزاويه ممانيه بالتعويض يبقى بالتعويض هنعوض بقياس الزاويه سته اللي هو 123 درجه بيساوي 180 ونطرح - 23 من كل طرف يبقى مقياس الزاويه 8 زائد مقياس الزاويه 9 بيساوي 180 - 123 هيدينا 57 الزاويتان متطابقتان بالتالي لو قسمنا تقسيم 2 هيبقى عندي مقياس الزاويه 8انيه يساوي مقياس الزاويه 9 هنقسم 57 تق 2 هيدينا 28.5 يبقى الزاويه 8 بتساوي 28.5 والزاويه التسعه هتكون بتساوي 28.5 خمسه في الجزء الثاني من الدرس نظريه الزوايا الخارجيه اذا تم مدلع من اضلاع المثلث بتتكون زاويه خارجيه اللي هي هنا الزاويه اربعه تسمى زاويه خارجيه علاقه الزاويه الخارجيه مع الزوايا الداخليه في المثلث ان هي بتساوي مجموع الزاويتين الغير مجاورتين او بنقول الزاويتين البعيدتين يبقى هنا الزاويه واحد والزاويه لاثه هم الزاويتين البعيدتين عن الزاويه اربعه لان الزاويه اثنين هي زاويه مجاوره ليها يبقى علاقه الزاويه اربعه اللي هي الزاويه الزاويه الخارجيه بتساوي مجموع الزاويتين البعيدتين او غير المجاورتين لها داخل المثلث يبقى نظريه الزوايا الخارجيه قياس الزاويه الخارجيه في مثلث يساوي مجموع قياس الزاويتين حسب نظريه الزوايا الخارجيه واثبات النظريه هنستخدم برهان البرهان التسلسلي هو عباره عن مجموعه من العبارات مكتوبه في مربعات واسهم عشان نقدر ان احنا نوصل لاثبات النظريه يبقى هنثبت نظريه الزوايا الخارجيه للمثلث عندي المثلث اي بي سي مدينا المستقيم اي س الى النقطه دي فتكونت الزاويه واحد الزاويه اثنين زاويه وجوره ليها في المعطيات هنا بيقول انه المثلث اي بي سي المطلوب اثباته انه الزاويه واحد تساوي الزاويه اي زائد الزاويه اللي هما الزاويتين الغير مجاورتين يبقى اثبات النظريه حسب اثبات النظريه باستخدام البرهان التسلسلي في البدايه هنكتب المعطيات زي ما احنا اتعودنا نكتب البرهان باستخدام المعطيات يبقى المعطيات المثلث اي بي سي هنستخدم المعطى لاستخدام نظريه مجموع الزوايا المثلث هنقول انه مقياس الزاويه زائد مقياس الزاويه زائد الزاويه اين بيساوي 180 درجه حسب نظريه مجموع الزوايا المثلث بعد كده هنقول انه الزاويه واحد والزاويه اثنين تشكلان زوجا خطيا يعني مجموعهم هيكون 180 درجه تعريف الزوج الخطي يعني زاويتين على خط مستقيم هيكون مجموعهم بيساوي 180 درجه بعد كده هنقول انه الزاويه واحد والزاويه اثنين زاويتان متكاملتان اذا تشكلت زاويه واحد والزاويه اثنين زوجا خطيا فانهما متكاملتان يعني مجموعهم بيساوي 180 يبقى مقياس الزاويه اثين + مقياس الزاويه واحد بيساوي 180 تحديد الزوايا المتكامله الداخليتين غير المتجاورتين يبقى هنا قياس الزاويه الخارجيه اللي هي الزاويه واحد هيساوي قياس الزاويه زائد قياس الزاويه نستنتج من كده انه بالتعويض لو عوضنا مقياس الزاويه زائد مقياس الزاويه زائد مقياس الزاويه اين هيكون بيساوي 180 حسب نظريه مجموع زوايا المثلث زي اثبتنا في اليسار والطرف اليمين هنقول انه بعد علامه المساواه هنقول انه مقياس الزاويه اين زائد مقياس الزاويه واحد كمان زوايا متكامله مجموعهم 180 مقياس الزاويه اثنين موجود في الطرف اليسار ومقياس الزاويه اثنين موجود في الطرف اليمين اذا طرحنا مقياس الزاويه اثنين من كل طرف اللي هي الزاويه المجاوره للزاويه واحد هيكون الناتج عندنا بالتعويض باستخدام خاصيه الطرح انه مقياس الزاويه زائد مقياس الزاويه bكون بيساوي مقياس الزاويه واحد اللي هي الزاويه الخارجيه المطلوب اثباتها يبقى كده وصلنا الى المطلوب اثباته باستخدام نظريه مجموع زوايا المثلث وزوج خطي من الزوايا اللي هما زاويتان متكاملتان على خط مستقيم وبالمساواه ما بين الجانبين استخدم خاصيه الطرح في اثبات انه الزاويه الخارجيه بتساوي مجموع الزاويتين الغير مجاورتين مثال رقم اثنين من الحياه اليوميه استخدام نظريه الزاويه الخارجيه جد قياس الزاويه جي كي ال في الوضعيه المعروضه التي على شكل مثلث فهنا عندي شكل مثلث الزاويه جي كي ال اللي هي الزاويه الخارجيه عن المثلث لو استخدمنا نظريه الزوايا الخارجيه هتساوي مجموع الزاويتين البعيدتين اللي هي الزاويه ال والزاويه ام باستخدام نظريه الزوايا الخارجيه هنقول انه مقياس الزاويه جي كي ال اللي هي الزاويه الخارجيه عن المثلث هتكون بتساوي مقياس الزاويه ال زائد مقياس الزاويه ام يبقى بالتعويض الزاويه جي كي ال قياسها 2 اكس ناقص 15 بيساوي قياس الزاويه ال قياسها اكس زائد مقياس الزاويه ام 50 درجه هنطرح ناقص اكس من كل طرف هيبقى المتبقي هنا اكس - 15 بتساوي 50 بعد كده هنجمع + 15 لكل طرف هيدينا الاكس هتكون بتساوي 65 بعد ما جبنا قيمه الاكس نقدر ان احنا نروح نعوض في الزاويه اللي هي جي كي ال ونوجد قياس الزاويه يبقى هنا هنقول انه مقياس الزاويه جي كي ال اللي هو بيساوي 2 اكس ناقص 15 بالتعويض هيكون 2 ضرب 65 - 15 هيدينا 115 درجه يبقى ده هيكون قياس الزاويه جي كي تمرين رقم اثنين ترتيب الخزانه تثبت بسينه ذراع الرف الظاهر في جدار خزانتها ما قياس الزاويه واحد الزاويه واحد هي زاويه مكونه على امتداد ضلع المثلث خارجيا وهي الزاويه التي يشكلها الذراع مع الجدار بما انه الزاويه واحد هي زاويه خارجيه على امتداد ضلع من اضلاع المثلث بالتالي هتكون حسب نظريه الزاويه الخارجيه بتكون بتساوي مجموع الزاويتين الغير مجاورتين او الزاويتين البعيدتين يبقى هنقول ان مقياس الزاويه واحد هيكون بيساوي الزاويه 90 درجه اللي هي الزاويه القائمه + 40 درجه اللي هي الزاويه الاخرى البعيده عن الزاويه واحد يبقى قياس الزاويه واحد هيساوي 40 + 90 هيدينا 130 درجه هنستنتج من نظريه مجموع زوايا المثلث انه الزاويتين الحادتين في المثلث القائم هما زاويتان متتامتان اذا كان عندي مثلث اي سي مثلث اي في سي مثلث قائم بما انه الزاويه سي هتكون 90 درجه معناها انه مجموع الزاويه زائد bكون بيساوي 90 لانه 90 + 90 هيدينا 180 يبقى هنستنتج انه المثلث القائم اذا كان فيه زاويه قائمه يبقى مجموع الزاويتين مجموع الزاويتين وبي هتكون متتامتان يعني هيكون مجموعهم 90 درجه النتيجه الاخرى يمكن ان توجد زاويه حاده قائمه او منفرجه بحد اقصى في المثلث يبقى حد اقصر في المثلث انه يكون زاويه قائمه او منفرجه قياسها 90 او اكت من 90 زاويه واحده فقط باقي الزاويتين بتكون زوايا حاده داخل المثلث بشرط ان يكون حسب النظريه انه مجموع الزوايا الثلاثه داخل المثلث لازم يساوي 180 مثال رقم لاثه ايجاد قياس الزوايا في المثلثات قائمه الزاويه جيت قياس جميع الزوايا المرقمه ففي عندي الشكل الرباعي تي دبليو اكس واي نقدر نوجد قياس الزاويه واحد بما انه معلوم قياس الزاويه تي زد واي قياسها 90 درجه والزاويه تي واي زتا قياسها 52 درجه نقدر من خلالهم نوجد قياس الزاويه واحد بما انه في زاويتين معلومتين داخل المثلث يبقى هنقول انه الزاويه واحد زائد مقياس الزاويه تي واي زد بتساوي 90 درجه السبب في كده انه هيكون المثلث القائم زي ما قلنا اذا كان في زاويه 90 درجه يبقى معناها حسب النتيجه الاولى لنظريه مجموع زوايا المثلث انه هيكون المثلث قياس القائم بيحتوي على زاويتين متتامتين مجموعهم 90 درجه يبقى بالتعويض هنقول ان مقياس الزاويه 1 + 52 = 90 نطرح ناقص 52 من كل طرف هيدينا مقياس الزاويه واحد بيساوي 38 درجه في تمرين موجه هنكمل باقي الزوايا المطلوبه عندي الزاويه اثنين موجوده في مثلث قائم اللي هو المثلث واي اكس دبليو بما انه الزاويه اكس زاويه قائمه نقدر نقول انه الزاويه دبليو واي اكس زائد الزاويه واي دبليو اكس اللي هي الزاويه انين هيكونوا زوايا متتامه مجموعهم 90 درجه يبقى هنقول 38 زائد الزاويه 2ين هيكون بتساوي 90 درجه يبقى مقياس الزاويه اين زائد مقياس الزاويه دبليو واي اكس اللي هي قياسها 38 هيكون زاويتان متتامتان مجموعهم 90 بما انهم موجودين داخل مثلث قائم بالتعويض الزاويه 2 + 38 بتسا 90 هنطرح - 38 من كل طرف ويبدا الزاويه انين هتكون بتساوي 52 درجه تمرين موجه 3 ب الزاويه لاه زاويه متتامه مع الزاويه اثنين بما انه الزاويه اثنين والزاويه لاثه زوايا قائمه يبقى نقدر نستخدم علامه الزاويه القائمه فانه نقول انه الزاويتين متتامتين 3 + 2 هيكون بيساوي 90 درجه يبقى بما انه عرفنا قياس الزاويه اثنين هنعوض 52 درجه مكان الزاويه اثنين وهنطرح 52 من كل طرف هيدينا قياس الزاويه لاثه هيكون بتساوي 38 درجه تمرين 3 سي الزاويه اربعه الزاويه اربعه موجوده في مثلث قائم بما انه الزاويه تي زد واي هتكون 90 درجه كمان هيكون الزاويه تي زد دبليو كمان هتكون بتساوي 90 درجه يبقى بالتالي الزاويه لاثه والزاويه اربعه زوايا حاده داخل مثلث قائم بالتالي بيكونوا زوايا متتامه مجموعهم بيساوي 90 درجه الزاويه 4 + الزاويه لاه بيساوي 90 درجه بما انه عرفنا قياس الزاويه لاثه هنعوض بيها 38 درجه وهنطرح راح ناق 38 من كل طرف هيدينا قياس الزاويه اربعه هيكون بيساوي 52 درجه طبعا نقدر ان احنا نعمل تحقق عن طريق ان احنا بنجمع مجموع الزوايا كل مثلث لازم يكون بيساوي 180 من تمارين التحقق من فهمك جد قياس جميع الزوايا المرفمه سؤال رقم واحد عندي مثلث معلوم منه الزاويه 63 درجه والزاويه 59 درجه الزاويه واحد هتكون زاويه مجهوله يبقى حسب نظريه مجموع زوايا المثلث هنقول ان مقياس الزاويه زائد الزاويه 63 درجه زائد الزاويه 59 درجه بيساوي 180 يبقى مقياس الزاويه واحد وهنجمع 63 + 59 هيدينا 122 ساوي 180 - 122 هيدينا مقياس الزاويه واحد هيكون بيساوي 58 درجه سؤال رقم اين عندي اكث من زاويه مجهوله بالنسبه للزاويه واحد موجوده داخل المثلث اي اف بي مثلث قائم بما انه مثلث قائم لو اعتمدنا على انه المثلث القائم يوجد به زاويتان حادتان متتامتان يعني مجموعهم 90 درجه يبقى الزاويه والزاويه هيكون مجموعهم 90 درجه يبقى هنستعين بيهم في ايجاد الزاويه واحد يبقى هنا في البدايه هنقول انه مقياس الزاويه واحد زائد مقياس الزاويه بيساوي 90 درجه زاويتان متتامتان يبقى بالتعويض هنقول مقياس الزاويه 1 + 50 درجه بيساوي 90 هنطرح ناقص 50 من كل طرف هيدينا مقياس الزاويه واحد هيكون بيساوي 40 درجه عندي في علامه التوازي على الضلع اف سي وعلامه توازي على الضلع اي دي بما انه الضلعين متوازيان يبقى بالتالي الضلع اف دي هو قاطع للتوازي وزي ما درسنا في الدروس السابقه انه الزوايا المتكونه على القاطع لخطين متوازيين بيكون زوايا هي متبادله داخليا فبتكون متطابقه بالتالي الزاويه اثنين نقدر نقول ان هي متبادله داخليا مع الزاويه اي الزاويه اي دي اف اللي هي قياسها 50 درجه يبقى هنا هنقول انه الزاويه اثنين والزاويه اي دي اف زوايا متبادله داخليا اذا هي متطاقه يبقى الزاويه اثنين هتكون بتساوي نفس القياس اللي هو 50 درجه طبعا احنا اعتمدنا في انه الزاويه اين بتساوي 50 درجه اعتمادا على علامه التوازي وعلى انه الزاويه اين والزاويه 50 درجه موجودين على القاطع اللي هو الضلع اف دي بما انه عرفنا قياس الزاويه اثنين ان هي هتكون 50 درجه علشان نوجد قياس الزاويه الثلاثه المثلث اف سي دي هو مثلث قائم فهيكون الزاويه اثنين والزاويه لاثه زاويتين حاتين في مثلث قائم فبيكونوا متتامتين يبقى نقدر نقول انه هيكون الزاويه اثنين زائد الزاويه لاثه بيساوي 90 درجه زاويتان متتامتان في مثلث قائم يبقى نقدر نقول انه بالتعويض 50 قياس الزاويه 2ين زائد الزاويه 3 بيساوي 90 درجه هنطرح ناق 50 من كل طرف هيدينا مقياس الزاويه هيكون بيساوي درجه سؤال رقم لاه مقياس الزاويه اثنين الزاويه اين هي زاويه داخل المثلث موجود في المثلث زاويه 30 درجه وعندي زاويه 115 درجه زاويه خارجيه ناتجه عن امتداد ضلع من اضلاع المثلث بالتالي نقدر نستعين بنظريه الزاويه الخارجيه للمثلث اللي هي بتساوي مجموع الزاويتين البعيدتين في ايجاد الزاويه اثنين يبقى نقدر نقول انه هيكون 115 اللي هي الزاويه الخارجيه هتساوي 30 درجه زائد الزاويه اين يبقى هنا هنطرح ناقص 30 من كل طرف هيدينا مقياس الزاويه اين هيكون بيساوي 85 درجه بالاستعانه بنظريه الزاويه الخارجيه المثلث سؤال رقم اربعه الزاويه ام بي كيو الزاويه ام بي كيو هي زاويه خارجيه اللي هي الزاويه الموجوده هنا بتساوي مجموع الزاويتين البعيدتين اللي هي الزاويه ام والزاويه ان يبقى حسب نظريه الزاويه الخارجيه للمثلث هنقول انه مقياس الزاويه ام بي كيو بما انها زاويه خارجيه ناتجه عن امتداد ضلع من اضلاع المثلث هتساوي مقياس الزاويه ام زائد مقياس الزاويه ان اللي هم الزاويتين البعيدتين يبقى بالتعويض هيكون 65 درجه والزاويه ان 54 درجه هنجمعهم هيدينا مقياس الزاويه ام بي يو هتساوي 119 درجه تشكل دعا مقعد الاسترخاء هذا مثلثا مع بقيه هيكل المقعد كما هو ظاهر اذا علمت ان مقياس الزاويه واحد هيكون بيساوي 105 درجه ومقياس الزاويه 3 48 درجه فجيت كل قياس مطلوب في سؤال رقم خمسه مقياس الزاويه اربعه الزاويه اربعه هي زاويه داخل المثلث معلوم عندي من المثلث الزاويه ثلاثه فقط فبالتالي علشان اقدر ان انا ا اوجد قياس الزاويه اربعه ممكن ان انا استعين بنظريه الزاويه الخارجيه الزاويه الزاويه واحد هي زاويه خارجيه مكونه من امتداد الضلع الموجود عليه الزاويه اربعه ف حسب نظريه الزوايا الزاويه الخارجيه للمثلث انه بتساوي مجموع الزاويتين البعيدتين اللي هو اربعه وثلاثه فنقدر نجيب الزاويه اربعه عن طريق نفس النظري يبقى اجابه سؤال رقم خمسه هنقول انه مقياس الزاويه واحد هيكون بيساوي مقياس الزاويه اربعه زائد مقياس الزاويه لاه حسب نظريه الزاويه الخارجيه يبقى بالتعويض 105 مقياس الزاويه واحد زي ما هو معطى ومقياس الزاويه 4 زائد مقياس الزاويه 3 بما انه معطى هيكون 48 علشان نوجد مقياس الزاويه 4 هنحتاج نطرح ناقص 48 من كل طرف فهيدينا مقياس الزاويه اربعه هيكون بيساوي 57 درجه بعد كده هوجد قياس الزاويه اثنين اللي داخل المثلث بما انه عرفت قياس الزاويه اربعه والزاويه لاثه ممكن نجيب قياس الزاويه اثنين اللي هي مطلوبه في السؤال رقم سبعه وبعد كده هنرجع نحل السؤال رقم سته مرهاني علشان هنحتاج فيه قياس الزاويه اثنين يبقى هنا سؤال رقم سبعه مقياس الزاويه اثنين هنجيبه عن طريق مجموع الزوايا المثلث اللي هو مقياس الزاويه اين زائد مقياس الزاويه اربعه زائد مقياس الزاويه 3لاه بيساوي 180 يبقى بالتعويض مقياس الزاويه 2 زائد الزاويه 4 57 درجه زائد الزاويه 3 48 درجه بيساوي 180 مجموع 57 + 48 هيكون 105 درجه بتساوي 180 هنطرح ناق 105 من كل طرف هيدينا مقياس الزاويه اين هيكون بيساوي 75 درجه بعد كده هو قياس قياس الزاويه سته لانه هحتاج فيها قياس الزاويه اثنين اللي احنا جبناها في الخطوه السابقه يبقى سؤال رقم سته طالب مني اوجد مقياس الزاويه سته اللي هي زاويه خارجيه مكونه من امتداد الضلع خارج المثلث يبقى بتساوي مجموع الزاويتين البعيدتين اللي هي الزاويه اربعه زائد الزاويه اثنين يبقى حسب نظريه الزاويه الخارجيه عن المثلث هنقول ان مقياس الزاويه سته اللي هي مطلوبه هتكون بتساوي مقياس الزاويه اين زائد مقياس الزاويه اربعه يبقى بالتعويض مقياس الزاويه اثنين زي ما جبناها في الخطوه السابقه كانت بتساوي 75 درجه زائد مقياس الزاويه اربعه كانت بتساوي 57 درجه يبقى مقياس الزاويه سته هجمعهم هيدينا 132 درجه ده هيكون مقياس الزاويه سته حسب نظريه الزاويه الخارجيه للمثلث سؤال رقم مانيه مطلوب ايجاد الزاويه خمسه مقياس الزاويه خمسه فنشوف الزاويه خمسه هي زاويه خارجيه عن المثلث ناتجه عن امتداد الضلع يبقى بتساوي مجموع الزاويتين البعيدتين الغير غير مجاوره لها يبقى الزاويه اين زائد الزاويه لاثه اللي هم داخل مثلث بعيد عن الزاويه خمسه هنجمعهم هيدينا قياس الزاويه خمسه يبقى مقياس الزاويه خمسه بيساوي مقياس الزاويه اثنين زائد مقياس الزاويه لاثه حسب نظريه الزاويه الخارجيه للمثلث يبقى بالتعويض الزاويه اين 75 درجه والزاويه لاثه زي ما هو معطى بالتمرين 48 درجه وقياس الزاويه خمسه هي 123 درجه قياس كل مما يلي سؤال رقم تسعه مقياس الزاويه واحد الزاويه واحد موجوده في مثلث قائم حسب النتيجه اللي ترتبت على نظريه مجموع زوايا المثلث انه اذا كان مثلث قائم بيكون موجود فيه زاويتين حدتين متتامتين مجموعهم 90 درجه اللي هي الزاويه واحد والزاويه 32 يبقى هنا اجابه سؤال رقم ت هنقول ان مقياس الزاويه 32 درجه بيساوي 90 درجه زاويتان متتامتان في مثلث قائم يبقى مقياس الزاويه واحد هيكون بيساوي 90 - 32 هيساوي 58 درجه سؤال رقم 10 مقياس الزاويه ممكن نجيب مقياس الزاويه لاثه باكث من طريقه ممكن انه نقول انه الزاويه واحد والزاويه لاه الاثنين مجموعهم زائد 90 درجه اللي هي الزاويه الثالثه الزاويه الثانيه في المثلث زائد 12 درجه يبقى مجموع الزوايا 180 نقدر ان احنا نستخدم مجموع زوايا المثلث الخارجي يبقى السؤال رقم 10 هيكون مقياس الزاويه واحد زائد مقياس الزاويه لاثه على انهم زاويه واحده زائد 90 درجه اللي هي الزاويه القائمه + 12 درجه بيساوي 180 يبقى هنا الزاويه الاولى في المثلث الخارجي وهنا الزاويه الثانيه اللي هي القائمه وهنا الزاويه الثالثه مجموعهم بيساوي 180 يبقى بالتعويض الزاويه واحد هتكون 58 درجه زائد مقياس الزاويه 3 اللي محتاجين نوجدها + 90 + 12 = 180 هنجمع الطرف اليسار هيبقى عندي مقياس الزاويه 3 + اجمع 8 + 90 + 12 هيدينا 160 درجه ساوي 180 هنطرح ناق 160 درجه من كل طرف هيدينا مقياس الزاويه 3 ساوي 180 - 160 هيدينا 20 درجه طبعا نقدر ان احنا نعمل تحقق بس بعد ما نجيب قياس الزاويه اين بعد ما نجيب قياس الزاويه انين ممكن نتحقق من الاجابه الموجوده ده في سؤال رقم 10 بالاستعانه بالزاويه اثنين في المثلث الاخر يبقى هنا سؤال رقم 11 مطلوب ايجاد مقياس الزاويه اثنين مقياس الزاويه اثنين الزاويه اثنين مع الزاويه 32 درجه هي زوايا على خط مستقيم زوج خطي من الزوايا يبقى مجموعهم بيساوي 180 هنقول عليهم زوج خطي من الزوايا يعني على خط مستقيم بيكونوا زوايا مجموعهم 180 اطرح 32 من كل طرف هيدينا مقياس الزاويه 2ين هيكون بيساوي 148 درجه